1. As probabilidades que haja (m) 1,2,3,4 ou 5 pessoas dentro de um automóvel que passa por um pedágio são, respectivamente, 0.25 ; 0.20 ; 0.40,0.10 ; 0.05. Seja X o número de passageiros por automóvel que passa no pedágio,
    (a) Faça a fdp de X.
    (b) Calcule o número médio de passageiros por veículo.
    (c) Qual é a probabilidade de que, em 5 automóveis, ao menos um deles tenha mais que 3 pessoas?

Passo 1

O enunciado dá as probabilidades de haver 1,2,3,4 ou 5 pessoas num automóvel que passa no pedágio, respectivamente 0,25;0,20;0,40;0,10;0,05. Define-se a variável aleatória X como o número de passageiros por automóvel. As perguntas são:
(a) Construir a função de distribuição de probabilidade (fdp) de X.
(b) Calcular o número médio (valor esperado) de passageiros por veículo.
(c) Calcular a probabilidade de que, em uma amostra de 5 automóveis, ao menos um tenha mais que 3 pessoas.

Passo 2

(a) O que é a fdp? É a lista de probabilidades de cada valor que a variável discreta pode assumir. Para X precisamos listar P(X=k) para k=1,2,3,4,5. Pelos dados do enunciado:
P(X=1)=0,25,\quad P(X=2)=0,20,\quad P(X=3)=0,40,\quad P(X=4)=0,10,\quad P(X=5)=0,05.
Verificação rápida: a fdp deve somar 1. Vamos somar:
0,25+0,20+0,40+0,10+0,05=1,00,
logo está normalizada corretamente.

Passo 3

(b) O que é o número médio (valor esperado)? O valor esperado de uma variável discreta X (também chamado de esperança matemática) é a soma dos valores ponderados pelas suas probabilidades. A fórmula é
\mathbb{E}[X]=\sum_{k} k\,P(X=k),
onde k percorre todos os valores possíveis de X. Aqui k\in\{1,2,3,4,5\}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula e calculamos passo a passo os produtos k\cdot P(X=k):
1\cdot 0,25 = 0,25,
2\cdot 0,20 = 0,40,
3\cdot 0,40 = 1,20,
4\cdot 0,10 = 0,40,
5\cdot 0,05 = 0,25.
Somando essas contribuições:
\mathbb{E}[X]=0,25+0,40+1,20+0,40+0,25=2,50.
Interpretação: em média há 2,5 passageiros por veículo. Isso significa, por exemplo, que em grande número de carros o número médio de pessoas por carro tende a 2,5.

Passo 5

(c) Primeiro identifique o evento pedido: “mais que 3 pessoas” significa X>3, ou seja X=4 ou X=5. A probabilidade por veículo de ter mais que 3 pessoas é
p=P(X>3)=P(X=4)+P(X=5)=0,10+0,05=0,15.
Assumindo que os automóveis são independentes (cada carro é um experimento independente), a probabilidade de que nenhum dos 5 tenha mais que 3 pessoas é (1-p)^5. Portanto a probabilidade de que ao menos um tenha mais que 3 é o complementar:
P(\text{ao menos um em 5})=1-(1-p)^5=1-(1-0,15)^5=1-(0,85)^5.
Calculamos 0,85^5 passo a passo:
0,85^2=0,7225,
0,85^3=0,7225\cdot 0,85=0,614125,
0,85^4=0,614125\cdot 0,85=0,52200625,
0,85^5=0,52200625\cdot 0,85=0,4437053125.
Logo
P(\text{ao menos um em 5})=1-0,4437053125=0,5562946875\approx 0,5563,
ou seja cerca de 55{,}63\%.

Resposta

(a) P(X=1)=0,25,\; P(X=2)=0,20,\; P(X=3)=0,40,\; P(X=4)=0,10,\; P(X=5)=0,05.
(b) \mathbb{E}[X]=2,5.
(c) 1-(0,85)^5\approx 0,5563.

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