- As probabilidades que haja (m)
ou 5 pessoas dentro de um automóvel que passa por um pedágio são, respectivamente,
. Seja X o número de passageiros por automóvel que passa no pedágio,
(a) Faça a fdp de X.
(b) Calcule o número médio de passageiros por veículo.
(c) Qual é a probabilidade de que, em 5 automóveis, ao menos um deles tenha mais que 3 pessoas?
(a) Faça a fdp de X.
(b) Calcule o número médio de passageiros por veículo.
(c) Qual é a probabilidade de que, em 5 automóveis, ao menos um deles tenha mais que 3 pessoas?
Passo 1
O enunciado dá as probabilidades de haver
ou
pessoas num automóvel que passa no pedágio, respectivamente
. Define-se a variável aleatória
como o número de passageiros por automóvel. As perguntas são:
(a) Construir a função de distribuição de probabilidade (fdp) de .
(b) Calcular o número médio (valor esperado) de passageiros por veículo.
(c) Calcular a probabilidade de que, em uma amostra de 5 automóveis, ao menos um tenha mais que 3 pessoas.
(a) Construir a função de distribuição de probabilidade (fdp) de
(b) Calcular o número médio (valor esperado) de passageiros por veículo.
(c) Calcular a probabilidade de que, em uma amostra de 5 automóveis, ao menos um tenha mais que 3 pessoas.
Passo 2
(a) O que é a fdp? É a lista de probabilidades de cada valor que a variável discreta pode assumir. Para
precisamos listar
para
. Pelos dados do enunciado:
Verificação rápida: a fdp deve somar
. Vamos somar:
logo está normalizada corretamente.
Passo 3
(b) O que é o número médio (valor esperado)? O valor esperado de uma variável discreta
(também chamado de esperança matemática) é a soma dos valores ponderados pelas suas probabilidades. A fórmula é
onde
percorre todos os valores possíveis de
. Aqui
.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula e calculamos passo a passo os produtos
:
Somando essas contribuições:
Interpretação: em média há
passageiros por veículo. Isso significa, por exemplo, que em grande número de carros o número médio de pessoas por carro tende a
.
Passo 5
(c) Primeiro identifique o evento pedido: “mais que 3 pessoas” significa
, ou seja
ou
. A probabilidade por veículo de ter mais que 3 pessoas é
Assumindo que os automóveis são independentes (cada carro é um experimento independente), a probabilidade de que nenhum dos 5 tenha mais que 3 pessoas é
. Portanto a probabilidade de que ao menos um tenha mais que 3 é o complementar:
Calculamos
passo a passo:
Logo
ou seja cerca de
.
Resposta
(a)
.
(b)
.
(c)
.