Em
dar um exemplo de dois elementos
e
tais que
.
Passo 1
O enunciado pede: em
dar um exemplo de dois elementos
e
tais que
Informações relevantes dadas (tiradas do enunciado):
- O grupo em questão é
, o grupo das permutações de três elementos. - Precisa-se apenas de um exemplo concreto de
e em que satisfaçam a igualdade indicada.
Passo 2
Lembrete rápido sobre os elementos de
(lista dos elementos, para quem está com fome de memória):
onde
é a identidade,
são transposições (ordem
) e
,
são 3‑ciclos (ordem
). Aqui a composição é a usual de permutações: ao compor
aplica-se primeiro
e depois
.
Passo 3
Estratégia para escolher um exemplo (explicação didática): se eu escolher
e
iguais, a verificação costuma ficar simples porque então
e a igualdade reduz a algo fácil de calcular. Não tem problema escolher
: são dois elementos de
e o enunciado permite qualquer exemplo. Vou escolher um elemento não trivial para ficar mais interessante.
Passo 4
Escolho
Ou seja,
é o 3‑ciclo
. Agora vamos calcular passo a passo as duas parcelas da igualdade.
Passo 5
Cálculo de
:
- Primeiro
. Como compomos aplicando a permutação da direita primeiro, isso é simplesmente . - Sabemos que
. Logo
- Agora
. E . Portanto
Passo 6
Cálculo de
:
- Como
, tem‑se e . - Então
Passo 7
Comparando os resultados obtidos:
logo a igualdade é satisfeita para esta escolha de
e
.