Em S_{3} dar um exemplo de dois elementos x e y tais que (x \cdot y)^{2}= =x^{2} \cdot y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede: em S_{3} dar um exemplo de dois elementos x e y tais que
(x\cdot y)^{2}=x^{2}\cdot y^{2}.
Informações relevantes dadas (tiradas do enunciado):
  • O grupo em questão é S_{3}, o grupo das permutações de três elementos.
  • Precisa-se apenas de um exemplo concreto de x e y em S_{3} que satisfaçam a igualdade indicada.

Passo 2

Lembrete rápido sobre os elementos de S_{3} (lista dos elementos, para quem está com fome de memória):
S_{3}=\{\;e,\;(1\,2),\;(1\,3),\;(2\,3),\;(1\,2\,3),\;(1\,3\,2)\;\},
onde e é a identidade, (i\,j) são transposições (ordem 2) e (1\,2\,3), (1\,3\,2) são 3‑ciclos (ordem 3). Aqui a composição é a usual de permutações: ao compor \sigma\tau aplica-se primeiro \tau e depois \sigma.

Passo 3

Estratégia para escolher um exemplo (explicação didática): se eu escolher x e y iguais, a verificação costuma ficar simples porque então xy=x^{2} e a igualdade reduz a algo fácil de calcular. Não tem problema escolher x=y: são dois elementos de S_{3} e o enunciado permite qualquer exemplo. Vou escolher um elemento não trivial para ficar mais interessante.

Passo 4

Escolho
x=(1\,2\,3),\qquad y=(1\,2\,3).
Ou seja, x=y é o 3‑ciclo (1\,2\,3). Agora vamos calcular passo a passo as duas parcelas da igualdade.

Passo 5

Cálculo de (x\cdot y)^{2}:
  • Primeiro x\cdot y=(1\,2\,3)(1\,2\,3). Como compomos aplicando a permutação da direita primeiro, isso é simplesmente (1\,2\,3)^{2}.
  • Sabemos que (1\,2\,3)^{2}=(1\,3\,2). Logo
x\cdot y=(1\,3\,2).
  • Agora (x\cdot y)^{2}=(1\,3\,2)^{2}. E (1\,3\,2)^{2}=(1\,2\,3). Portanto
(x\cdot y)^{2}=(1\,2\,3).

Passo 6

Cálculo de x^{2}\cdot y^{2}:
  • Como x=y=(1\,2\,3), tem‑se x^{2}=(1\,3\,2) e y^{2}=(1\,3\,2).
  • Então
x^{2}\cdot y^{2}=(1\,3\,2)(1\,3\,2)=(1\,3\,2)^{2}=(1\,2\,3).

Passo 7

Comparando os resultados obtidos:
(x\cdot y)^{2}=(1\,2\,3) \qquad\text{e}\qquad x^{2}\cdot y^{2}=(1\,2\,3),
logo a igualdade é satisfeita para esta escolha de x e y.

Resposta

x=(1\,2\,3),\\ y=(1\,2\,3)

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