(g) rot(u F)=u rot(F)+nabla u times F

Passo 1

Vamos provar a identidade rot(uvec F)=u,rot(vec F)+nabla utimesvec F. O conteúdo é cálculo vetorial (rotacional e produto vetorial) e vamos precisar da definição componente a componente de nablatimes e da regra do produto para derivadas.

Passo 2

Recordando que, para um campo vetorial vec G=(Gx,Gy,Gz), temos
nablatimesvec G = l(partialy Gz - partialz Gy,;partialz Gx - partialx Gz,;partialx Gy - partialy Gxr)
Logo, tomando vec G = uvec F=(uFx,uFy,uFz), escrevemos
nablatimes(uvec F)=l(partialy(uFz)-partialz(uFy),;partialz(uFx)-partialx(uFz),;partialx(uFy)-partialy(uFx)r)

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto em cada derivada, por exemplo
partialy(uFz)=u,partialyFz+Fz,partialyu,partialz(uFy)=u,partialzFy+Fy,partialzu,
e de modo semelhante para as outras quatro derivadas.

Passo 4

Substituindo tudo na expressão de nablatimes(uvec F) e agrupando termos, obtemos
nablatimes(uvec F)=u,l(partialyFz-partialzFy,;partialzFx-partialxFz,;partialxFy-partialyFxr)+l(Fy,partialzu-Fz,partialyu,;Fz,partialxu-Fx,partialzu,;Fx,partialyu-Fy,partialxur)
O primeiro vetor é u,nablatimesvec F e o segundo coincide exatamente com nabla utimesvec F.
Portanto chegamos à fórmula desejada.

Resposta

A identidade foi demonstrada: rot(uvec F)=u,rot(vec F)+nabla utimesvec F.

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