Se
é uma curva regular, o comprimento da curva
é definido como sendo a integral:
Determine o comprimento das seguintes curvas:
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva regular
definida por
Sabemos que, em geral, o comprimento de uma curva regular
em
é
Vamos aplicar essa definição: primeiro calculamos
, depois sua norma, e então integramos de
até
.
Passo 2
Calculamos a derivada componente a componente:
Logo, a norma é
Portanto
Passo 3
Para calcular
fazemos a troca de variável
, de onde
e
. Quando
temos
e quando
temos
. Assim
Passo 4
Sabemos que uma primitiva de
é
Logo
Note que
.
Passo 5
Substituindo de volta e incluindo o fator
, obtemos
Simplificando
ficamos com