Se \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} é uma curva regular, o comprimento da curva \gamma é definido como sendo a integral:
l(\gamma):=\int_{a}^{b}\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\| d t
Determine o comprimento das seguintes curvas:
\gamma(t)=\left(t, t^{2}\right), 0 \leq t \leq a

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva regular \gamma:[0,a]\to\mathbb{R}^2 definida por
\gamma(t) = \bigl(t,\;t^2\bigr),\quad 0\le t\le a.
Sabemos que, em geral, o comprimento de uma curva regular \gamma(t) em [0,a] é
l(\gamma)=\int_{0}^{a}\bigl\|\gamma'(t)\bigr\|\,dt.
Vamos aplicar essa definição: primeiro calculamos \gamma'(t), depois sua norma, e então integramos de 0 até a.

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
\gamma'(t)=\bigl(1,\;2t\bigr).
Logo, a norma é
\bigl\|\gamma'(t)\bigr\| = \sqrt{1^2 + (2t)^2} = \sqrt{1 + 4t^2}.
Portanto
l(\gamma)=\int_{0}^{a}\sqrt{1 + 4t^2}\;dt.

Passo 3

Para calcular
\int_{0}^{a}\sqrt{1 + 4t^2}\;dt
fazemos a troca de variável u=2t, de onde du=2\,dt e dt=\tfrac{1}{2}du. Quando t=0 temos u=0 e quando t=a temos u=2a. Assim
\int_{0}^{a}\sqrt{1 + 4t^2}\,dt = \int_{0}^{2a}\sqrt{1+u^2}\;\frac{du}{2} = \frac12\int_{0}^{2a}\sqrt{1+u^2}\;du.

Passo 4

Sabemos que uma primitiva de \sqrt{1+u^2} é
F(u)=\frac{u}{2}\,\sqrt{1+u^2} \;+\;\frac{1}{2}\ln\bigl(u+\sqrt{1+u^2}\bigr).
Logo
\int_{0}^{2a}\sqrt{1+u^2}\;du = F(2a)-F(0).
Note que F(0)=\tfrac{0}{2}\sqrt{1+0}+\tfrac12\ln(0+1)=0.

Passo 5

Substituindo de volta e incluindo o fator \tfrac12, obtemos
l(\gamma) = \frac12\bigl[F(2a)-F(0)\bigr] = \frac12\;F(2a) = \frac12\!\left[\frac{2a}{2}\sqrt{1+(2a)^2}+\frac12\ln\!\bigl(2a+\sqrt{1+4a^2}\bigr)\right].
Simplificando
\frac{2a}{2}=\!a,
ficamos com
l(\gamma) = \frac12\Bigl[a\sqrt{1+4a^2} + \tfrac12\ln\!\bigl(2a+\sqrt{1+4a^2}\bigr)\Bigr] = \frac{a}{2}\sqrt{1+4a^2} + \frac{1}{4}\ln\!\bigl(2a+\sqrt{1+4a^2}\bigr).

Resposta

l(\gamma) = \frac{a}{2}\,\sqrt{1+4a^2} \;+\;\frac{1}{4}\,\ln\!\bigl(2a+\sqrt{1+4a^2}\bigr).

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