Se \gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}^{n} é uma curva regular, o comprimento da curva \gamma é definido como sendo a integral:
l(\gamma):=\int_{a}^{b}\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\| d t
Determine o comprimento das seguintes curvas:
\gamma(t)=(1-t) A+t B, 0 \leq t \leq 1, A, B \in \mathbb{R}^{n}

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva \displaystyle \gamma:[0,1]\to\mathbb{R}^n dada por
\gamma(t) = (1-t)A + tB,
onde A,B\in\mathbb{R}^n.
O conteúdo envolvido é o cálculo de comprimento de curvas regulares, usando
l(\gamma)=\int_{0}^{1}\|\gamma'(t)\|\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada de \gamma. Como A e B são vetores constantes,
\gamma'(t) = \frac{d}{dt}\bigl((1-t)A + tB\bigr) = -A + B = B - A.

Passo 3

Observamos que \gamma'(t) é constante, logo a norma também é constante:
\|\gamma'(t)\| = \|B - A\|\quad\text{para todo \(t\in[0,1]\).}

Passo 4

Substituindo na integral do comprimento, temos
l(\gamma) = \int_{0}^{1}\|\gamma'(t)\|\,dt = \int_{0}^{1}\|B - A\|\,dt = \|B - A\|\int_{0}^{1}dt = \|B - A\|.

Resposta

l(\gamma) = \|B - A\|.

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