Problema 1. Calcule
\int_{\gamma} x d x+y d y
onde \gamma(t)=\left(t^{2}, \operatorname{sen}(t)\right) para 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha
\int_{\gamma} x\,dx + y\,dy
ao longo da curva parametrizada por \gamma(t) = (x(t),y(t)) = (t^2,\operatorname{sen} t) para 0 \le t \le \tfrac{\pi}{2}. O conteúdo é integral de linha de uma forma diferencial exata e vamos usar parametrização, calculando dx e dy, substituindo e integrando em t.

Passo 2

Como \gamma(t) = (t^2,\operatorname{sen} t), temos
x(t) = t^2,\quad y(t) = \operatorname{sen} t.
Derivando,
dx = \frac{d}{dt}(t^2)\,dt = 2t\,dt, \quad dy = \frac{d}{dt}(\operatorname{sen} t)\,dt = \cos t\,dt.

Passo 3

Substituindo na forma diferencial,
x\,dx + y\,dy = \bigl(t^2\bigr)\,(2t\,dt) + (\operatorname{sen} t)\,(\cos t\,dt) = \bigl(2t^3 + \operatorname{sen} t\cos t\bigr)\,dt.
Logo a integral vira
\int_{0}^{\pi/2}\bigl(2t^3 + \operatorname{sen} t\cos t\bigr)\,dt = \int_{0}^{\pi/2}2t^3\,dt \;+\;\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} t\cos t\,dt.

Passo 4

Calculando a primeira parte,
\int_{0}^{\pi/2}2t^3\,dt = 2\cdot\frac{t^4}{4}\Big|_{0}^{\pi/2} = \frac{t^4}{2}\Big|_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{\pi}{2}\Bigr)^4 = \frac{\pi^4}{32}.

Passo 5

Para a segunda parte, usamos \int\operatorname{sen} t\cos t\,dt = \tfrac12\operatorname{sen}^2 t:
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen} t\cos t\,dt = \frac12\operatorname{sen}^2 t\Big|_{0}^{\pi/2} = \frac12\bigl(1 - 0\bigr) = \frac12.

Passo 6

Somando as duas contribuições, obtemos
\int_{\gamma} x\,dx + y\,dy = \frac{\pi^4}{32} + \frac12.

Resposta

\frac{\pi^4}{32} + \frac12

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