Problema 10. Sendo F(x, y)=\left(x^{2}, x y\right), calcule
\int_{\gamma} F \cdot \eta
onde \gamma é a fronteira do retângulo Q=[0,1] \times[0,2] e \eta é a normal apontando para fora.

Passo 1

O enunciado dá o campo de vetores \,F(x,y)=(x^2,\,xy), o retângulo Q=[0,1]\times[0,2] e pede o fluxo de F através da fronteira \gamma=\partial Q com a normal \eta voltada para fora. Vamos usar o Teorema de Green na forma de divergência (ou Teorema da Divergência em 2D), que diz que
\int_{\gamma}F\cdot\eta =\iint_{Q}\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}P+\frac{\partial}{\partial y}Q\Bigr)\,dA,
onde F=(P,Q).

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
\frac{\partial}{\partial x}(x^2)+\frac{\partial}{\partial y}(x y) =2x + x = 3x.

Passo 3

Agora integramos 3x sobre o retângulo Q:
\iint_{Q}3x\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{2}3x\,dy\,dx =\int_{0}^{1}3x\Bigl[\int_{0}^{2}dy\Bigr]dx =\int_{0}^{1}3x\cdot2\,dx =6\int_{0}^{1}x\,dx =6\cdot\frac{1}{2} =3.

Resposta

O valor do fluxo é 3.

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