Problema 11. Prove que se um campo F é tal que F \cdot \eta é constante ao longo de uma curva \gamma, então o fluxo de F ao longo de \gamma é F \cdot \eta vezes o comprimento de \gamma.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se num campo vetorial F ao longo de uma curva regular \gamma a componente normal \;F\cdot\eta
é constante, então o fluxo de F através de \gamma, definido por
\Phi = \int_{\gamma}F\cdot\eta\,ds,
é igual a esse valor constante multiplicado pelo comprimento de \gamma. Vamos usar a definição de integral de linha escalar e a propriedade de fatoração de constantes.

Passo 2

Pela hipótese, existe um escalar
c = F\cdot\eta
que independe do ponto de \gamma. Ou seja, para todo ponto P\in\gamma,
F(P)\cdot\eta(P)=c.

Passo 3

Pela definição de fluxo como integral de linha escalar, temos
\Phi = \int_{\gamma}F\cdot\eta\,ds.
Como a função s\mapsto F(\gamma(s))\cdot\eta(\gamma(s)) é identicamente igual a c, podemos tirar essa constante para fora da integral:
\Phi = \int_{\gamma}c\,ds = c\int_{\gamma}ds.
Mas por definição
\int_{\gamma}ds = L(\gamma),
o comprimento de \gamma. Portanto
\Phi = c\,L(\gamma).

Resposta

\int_{\gamma}F\cdot\eta\,ds \;=\;(F\cdot\eta)\,L(\gamma).

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