Problema 11. Prove que se um campo
é tal que
é constante ao longo de uma curva
, então o fluxo de
ao longo de
é
vezes o comprimento de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se num campo vetorial
ao longo de uma curva regular
a componente normal
é constante, então o fluxo de através de
, definido por
é constante, então o fluxo de
é igual a esse valor constante multiplicado pelo comprimento de
. Vamos usar a definição de integral de linha escalar e a propriedade de fatoração de constantes.
Passo 2
Pela hipótese, existe um escalar
que independe do ponto de
. Ou seja, para todo ponto
,
Passo 3
Pela definição de fluxo como integral de linha escalar, temos
Como a função
é identicamente igual a
, podemos tirar essa constante para fora da integral:
Mas por definição
o comprimento de
. Portanto