Se \gamma é uma curva de coordenadas x=\cos t, y=\operatorname{sen} t, \operatorname{com} 0 \leq t \leq 2 \pi, então \int_{\gamma}\left(x^{2}+2 y\right) d s vale:

0 。

b) 2 \pi
c) \pi / 2
d) 3 \pi
e) nenhuma das anteriores

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
\int_{\gamma}\bigl(x^{2}+2y\bigr)\,ds
ao longo da curva parametrizada por
x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad 0\le t\le 2\pi.
Aqui o conteúdo é integral de linha de uma função escalar, e vamos precisar expressar ds em termos de t.

Passo 2

Para obter ds calculamos
\frac{dx}{dt}=-\sin t,\quad \frac{dy}{dt}=\cos t
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ds=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}}\,dt =\sqrt{\sin^{2}t+\cos^{2}t}\,dt =1\cdot dt.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{0}^{2\pi}\bigl(\cos^{2}t+2\sin t\bigr)\,dt.

Passo 4

Separando em dois termos:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\,dt \quad\text{e}\quad \int_{0}^{2\pi}2\sin t\,dt.
Sabemos que
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\,dt =\pi
e
\int_{0}^{2\pi}2\sin t\,dt =2\bigl[-\cos t\bigr]_{0}^{2\pi} =2\bigl(-1+1\bigr) =0.

Passo 5

Somando os resultados obtemos
\pi + 0 = \pi,
que não coincide com nenhuma das alternativas dadas.

Resposta

e) nenhuma das anteriores.

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