A transformação que descreve a rotação Ttheta(x, y)=(tildex, tildey) de um ponto genérico (x, y) do plano por um ângulo alpha é descrita por
tildex & =x cos (alpha)-y sin (alpha) tildey & =x sin (alpha)-y cos (alpha)
Deduza a fórmula acima usando coordenadas polares, comparando
l x = rho operatorname c o s ( theta ) y = rho operatorname s i n ( theta ) operatorname c o m l tildex=rho cos (theta+alpha) tildey=rho sin (theta+alpha)
e usando as fórmulas de adição de arcos (fórmulas para cos (a pm b) e sin (a pm b). Pesquise no google caso não tenha aprendido isso ainda).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se escrevemos um ponto (x,y) em coordenadas polares como
x = rhocos(theta), y = rhosin(theta),
então, ao girar esse ponto em torno da origem por um ângulo alpha, seus novos eixos são
tildex = rhocos(theta+alpha), tildey = rhosin(theta+alpha)
O conteúdo principal é usar as fórmulas de adição de arcos para cos(theta+alpha) e sin(theta+alpha).

Passo 2

Lembrando as fórmulas de adição de arcos, temos
cos(theta+alpha) = cos(theta)cos(alpha) - sin(theta)sin(alpha),
sin(theta+alpha) = sin(theta)cos(alpha) + cos(theta)sin(alpha)
Como tildex = rhocos(theta+alpha) e tildey = rhosin(theta+alpha), basta substituir essas expressões.

Passo 3

Substituindo em tildex:
tildex = rhol[cos(theta)cos(alpha) - sin(theta)sin(alpha)r] = rhocos(theta)cos(alpha) - rhosin(theta)sin(alpha)
Mas rhocos(theta)=x e rhosin(theta)=y, logo
tildex = xcos(alpha) - ysin(alpha)
Substituindo em tildey:
tildey = rhol[sin(theta)cos(alpha) + cos(theta)sin(alpha)r] = rhosin(theta)cos(alpha) + rhocos(theta)sin(alpha),
isto é,
tildey = ycos(alpha) + xsin(alpha) = xsin(alpha) + ycos(alpha)

Resposta

tildex = xcos(alpha) - ysin(alpha)
tildey = xsin(alpha) + ycos(alpha)

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