Resolva as EDOs:
t \frac{d y}{d t}+2 y=t^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
t \frac{d y}{d t} + 2y = t^{2},
que é uma EDO linear em y. Vamos dividi-la por t (supondo t\neq0) para colocá-la na forma padrão
\frac{dy}{dt} + P(t)\,y = Q(t).

Passo 2

Dividindo a equação original por t, obtemos
\frac{dy}{dt} + \frac{2}{t}\,y = t.
Aqui P(t)=\tfrac{2}{t} e Q(t)=t.

Passo 3

Calculamos o fator integrante \mu(t) pela fórmula
\mu(t) = \exp\Bigl(\int P(t)\,dt\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{2}{t}\,dt\Bigr) = \exp\bigl(2\ln|t|\bigr) = t^{2}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da equação padrão por \mu(t)=t^{2}:
t^{2}\frac{dy}{dt} + 2t\,y = t^{3}.
O lado esquerdo é justamente a derivada do produto t^{2}y, pois
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}y\bigr) = t^{2}\frac{dy}{dt} + 2t\,y.

Passo 5

Portanto a EDO fica
\frac{d}{dt}\bigl(t^{2}y\bigr) = t^{3}.
Integramos em relação a t:
t^{2}y = \int t^{3}\,dt = \frac{t^{4}}{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, obtemos a solução geral
y(t) = \frac{t^{4}/4 + C}{t^{2}} = \frac{t^{2}}{4} + C\,t^{-2}.

Resposta

A solução geral da EDO é
\boxed{y(t) = \frac{t^{2}}{4} + \frac{C}{t^{2}},\quad C\in\mathbb{R}.}

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