Um gás a 20^{\circ} \mathrm{C} e 0,2 \mathrm{MPa} abs. ocupa um volume de 40 I e sua constante de gás vale R=210 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~N} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}. Determinar a massa especifica e a massa do gás.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: determinar a massa específica e a massa do gás. As informações fornecidas são (todos os números abaixo foram dados no enunciado):
  • Pressão absoluta: p = 0{,}2\\ \mathrm{MPa}.
  • Temperatura: T = 20^{\circ}\mathrm{C}.
  • Volume ocupado: V = 40\\ \mathrm{L}.
  • Constante específica do gás: R = 210\\ \mathrm{m\cdot N\;/\;kg\cdot K}.

Passo 2

Qual equação usar e por quê (fórmula e significado das variáveis).
  • A equação dos gases ideais para massa total é \,pV = m R T\,, onde:
    • p é a pressão absoluta (unidade no SI: \mathrm{Pa}=\mathrm{N/m^2}),
    • V é o volume ocupado pelo gás (unidade no SI: \mathrm{m^3}),
    • m é a massa do gás (unidade no SI: \mathrm{kg}),
    • R é a constante específica do gás (unidade: \mathrm{J/(kg\cdot K)}; note que \mathrm{J}=\mathrm{N\cdot m}, então a unidade dada \mathrm{m\cdot N/(kg\cdot K)} é equivalente a \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
    • T é a temperatura absoluta (unidade no SI: \mathrm{K}).
  • A massa específica (densidade) é \rho = \dfrac{m}{V}. A partir de \,pV = m R T\, podemos escrever \,p = \rho R T, porque m = \rho V. Assim as fórmulas úteis são: \rho = \frac{p}{R T}, \qquad m = \rho V = \frac{pV}{R T}.
Aqui cada variável e sua unidade já foram explicadas para que a aplicação na prova fique direta.

Passo 3

Conversão das unidades para o SI (passo importante para não errar na prova):
  • Converter \,p=0{,}2\\ \mathrm{MPa} para pascal: 1\\ \mathrm{MPa}=10^{6}\\ \mathrm{Pa}\quad\Rightarrow\quad p = 0{,}2\times10^{6}\\ \mathrm{Pa} = 200\,000\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter temperatura \,T=20^{\circ}\mathrm{C} para kelvin: T = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Converter volume \,V=40\\ \mathrm{L} para metros cúbicos: 1\\ \mathrm{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}\quad\Rightarrow\quad V=40\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}}=0{,}04\\ \mathrm{m^{3}}.
  • A constante R já está em unidades compatíveis com o SI: R = 210\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 4

Calcular a massa específica \rho usando \rho=\dfrac{p}{R T}.
  • Primeiro calcule o produto R\cdot T: R T = 210 \times 293{,}15 = 61\,561{,}5\\ \mathrm{J/(kg)}.(a unidade aqui é \mathrm{J/(kg)} porque multiplicamos \mathrm{J/(kg\cdot K)} por \mathrm{K}.)
  • Agora calcule \rho: \rho = \frac{p}{R T} = \frac{200\,000}{61\,561{,}5}\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.
  • Faça a divisão (mostrando o processo de cálculo que dá tranquilidade na prova): \rho \approx 3{,}248914\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.(Arredondando, \rho \approx 3{,}249\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.)

Passo 5

Calcular a massa m do gás usando m=\rho V (ou diretamente m=\dfrac{pV}{R T}).
  • Usando \rho e V: m = \rho V = 3{,}248914 \times 0{,}04\\ \mathrm{kg}.
  • Multiplicando: m \approx 0{,}1299566\\ \mathrm{kg}.(Arredondando com sentido prático, m \approx 0{,}130\\ \mathrm{kg}.)

Passo 6

Verificação rápida de consistência (ajuda a pegar confiança na prova):
  • A densidade obtida \rho\approx 3{,}25\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}} é razoável: é maior que a densidade do ar à temperatura ambiente (~ 1{,}2\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}) porque a pressão aqui é maior ( 0{,}2\\ \mathrm{MPa} > 1{,}01\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}).
  • A massa encontrada para V=0{,}04\\ \mathrm{m^{3}} sendo cerca de 0{,}13\\ \mathrm{kg} também faz sentido com essa densidade.

Resposta

\rho = 3{,}249\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}
m = 0{,}130\\ \mathrm{kg}

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