O gás de um balão esférico escapa à razão de
. Encontre a razão de diminuição da superfície do balão quando o raio for de 12 dm .
(
)
(
Passo 1
O enunciado diz que temos um balão esférico cujo volume diminui à taxa de 2 dm³/min por causa do escape de gás, e pede a taxa de variação da superfície quando o raio vale 12 dm. O conteúdo principal é derivadas nas relações volume–raio e superfície–raio, usando derivação implícita e cálculo de taxas relacionadas.
Passo 2
Aumentamos o detalhe das fórmulas geométricas. O volume de uma esfera é dado por
e a superfície é
Vamos precisar também das derivadas de cada um em relação ao tempo.
Passo 3
Diferenciamos em relação ao tempo
aplicando derivação implícita. Para o volume:
E para a superfície:
Passo 4
Isolamos
a partir de
. Como o gás escapa,
dm³/min. Da primeira equação:
Passo 5
Substituímos
na expressão de
e avaliamo-la em
dm:
Agora em
:
Isso significa que a superfície diminui a
dm² por minuto.
Passo 6
Portanto, a taxa de variação da superfície naquele instante é
dm²/min.
Resposta
-1/3 dm²/min