O gás de um balão esférico escapa à razão de 2 dm^3 / min. Encontre a razão de diminuição da superfície do balão quando o raio for de 12 dm .
( R:-1 / 3 )

Passo 1

O enunciado diz que temos um balão esférico cujo volume diminui à taxa de 2 dm³/min por causa do escape de gás, e pede a taxa de variação da superfície quando o raio vale 12 dm. O conteúdo principal é derivadas nas relações volume–raio e superfície–raio, usando derivação implícita e cálculo de taxas relacionadas.

Passo 2

Aumentamos o detalhe das fórmulas geométricas. O volume de uma esfera é dado por
V=43pi r^3
e a superfície é
S=4pi r^2
Vamos precisar também das derivadas de cada um em relação ao tempo.

Passo 3

Diferenciamos em relação ao tempo t aplicando derivação implícita. Para o volume:
dVdt=ddtl(43pi r^3r)=4pi r^2drdt
E para a superfície:
dSdt=ddt(4pi r^2)=8pi rdrdt

Passo 4

Isolamos dr/dt a partir de dV/dt. Como o gás escapa, dV/dt=-2 dm³/min. Da primeira equação:
drdt=14pi r^2dVdt=-24pi r^2

Passo 5

Substituímos dr/dt na expressão de dS/dt e avaliamo-la em r=12 dm:
dSdt=8pi rcdot-24pi r^2=8pi r,(-2)4pi r^2=-16pi r4pi r^2=-164r=-4r
Agora em r=12:
dSdt=-412=-13
Isso significa que a superfície diminui a tfrac13 dm² por minuto.

Passo 6

Portanto, a taxa de variação da superfície naquele instante é -tfrac13 dm²/min.

Resposta

-1/3 dm²/min

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