Um gás consiste de
partículas pontuais em um espaço infinito. Cada partícula é atraída pela origem por uma força proporcional à distância da origem,
. Assim, além de sua energia cinética translacional, cada partícula tem uma energia potencial
).
(e) Qual é a capacidade calorífica molar
para este gás? [3-]
(e) Qual é a capacidade calorífica molar
Passo 1
Então, galera, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás com
partículas pontuais espalhadas em um espaço infinito. Cada partícula sente uma força que puxa ela de volta para a origem, e essa força é proporcional à distância dela da origem, dada por
. Além da energia cinética, cada partícula também tem uma energia potencial, que é
, onde
é a distância da partícula até a origem, e pode ser escrita como
. A pergunta é: qual é a capacidade calorífica molar a volume constante,
, desse gás?
Passo 2
Vamos precisar usar a ideia de energia interna do gás. A energia interna total
é a soma das energias cinética e potencial de todas as partículas. Em sistemas com energia quadrática como essa, a energia interna é dada por
, onde
são os graus de liberdade e
é a constante de Boltzmann.
Aqui, cada partícula tem três graus de liberdade relacionados ao movimento no espaço (
,
,
) e mais três relacionados à energia potencial devido à força que puxa para a origem. Então, no total, cada partícula tem
graus de liberdade.
Passo 3
Agora, para encontrar a capacidade calorífica molar a volume constante,
, usamos a relação entre energia interna e capacidade calorífica:
Substituindo a expressão da energia interna:
Derivando em relação à temperatura:
Como queremos a capacidade molar, dividimos por
, o número de Avogadro, e lembramos que
. Então:
Substituindo
:
Resposta
A capacidade calorífica molar a volume constante é
.