Um gás consiste de N partículas pontuais em um espaço infinito. Cada partícula é atraída pela origem por uma força proporcional à distância da origem, F=-C r. Assim, além de sua energia cinética translacional, cada partícula tem uma energia potencial U=12 C r^2=12 C(x^2+y^2+ z^2 ).
(e) Qual é a capacidade calorífica molar Cv para este gás? [3-]

Passo 1

Então, galera, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás com N partículas pontuais espalhadas em um espaço infinito. Cada partícula sente uma força que puxa ela de volta para a origem, e essa força é proporcional à distância dela da origem, dada por F = -C r. Além da energia cinética, cada partícula também tem uma energia potencial, que é U = 12 C r^2, onde r é a distância da partícula até a origem, e pode ser escrita como U = 12 C (x^2 + y^2 + z^2). A pergunta é: qual é a capacidade calorífica molar a volume constante, Cv, desse gás?

Passo 2

Vamos precisar usar a ideia de energia interna do gás. A energia interna total Utotal é a soma das energias cinética e potencial de todas as partículas. Em sistemas com energia quadrática como essa, a energia interna é dada por Utotal = f2 N kB T, onde f são os graus de liberdade e kB é a constante de Boltzmann.
Aqui, cada partícula tem três graus de liberdade relacionados ao movimento no espaço ( x, y, z) e mais três relacionados à energia potencial devido à força que puxa para a origem. Então, no total, cada partícula tem f = 6 graus de liberdade.

Passo 3

Agora, para encontrar a capacidade calorífica molar a volume constante, Cv, usamos a relação entre energia interna e capacidade calorífica:
Cv = (partial Upartial T)V
Substituindo a expressão da energia interna:
Utotal = f2 N kB T
Derivando em relação à temperatura:
Cv = f2 N kB
Como queremos a capacidade molar, dividimos por NA, o número de Avogadro, e lembramos que R = NA kB. Então:
Cv = f2 R
Substituindo f = 6:
Cv = 3 R

Resposta

A capacidade calorífica molar a volume constante é Cv = 3, R.

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