Um gás ideal, Cv=3 cal K^-1 mol^-1, é submetido à seguinte sequência de transformações:
I) A-B inicialmente a 300 K, 1 atm e 40 L é aquecido até dobrar a pressão a volume constante;
II) B-C resfriado isobaricamente até 300 K ;
III) C-A expandido isotermicamente até retornar às condições iniciais.
(a) Calcule q, w, De e De. Construa uma tabela para melhor visualizar o processo. (b) Desenhe um gráfico qualitativo PX V para as transformações acima. Indique claramente cada etapa.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um gás ideal com capacidade calorífica a volume constante, Cv = 3 , cal , K^-1 mol^-1. Esse gás passa por três transformações: I) aquecimento a volume constante até dobrar a pressão, II) resfriamento isobárico até 300 K, e III) expansão isotérmica para voltar ao estado inicial. Precisamos calcular o calor ( q), o trabalho ( w), a variação da energia interna ( De) e a variação da entalpia ( De) para cada etapa, além de construir uma tabela para visualizar o processo e desenhar um gráfico qualitativo PX V.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a primeira transformação, I) A-B, onde o gás é aquecido a volume constante até a pressão dobrar. Como o volume não muda, o trabalho feito pelo gás é zero ( w = 0). Para calcular o calor ( q), usamos a fórmula:
q = n cdot Cv cdot De
Precisamos encontrar a variação de temperatura ( De). Como a pressão dobra e o volume é constante, pela lei dos gases ideais ( PV = nRT), temos:
PBPA = TBTA Rightarrow 2 = TB300 Rightarrow TB = 600 , K
Então, De.
Agora, calculando q:
q = n cdot 3 , cal/K/mol cdot 300 , K = 900n , cal
A variação da energia interna ( De) para processos a volume constante é igual ao calor:
De
A variação da entalpia ( De) é:
De
Considerando R = 1.987 , cal/mol cdot K,
De

Passo 3

Agora, vamos para a segunda transformação, II) B-C, onde o gás é resfriado isobarricamente (a pressão permanece constante) até 300 K. Como a pressão é constante, o trabalho feito pelo gás é:
w = P cdot De
Mas primeiro, precisamos encontrar a quantidade de mols ( n). Usando a condição inicial A:
PV = nRT Rightarrow n = PVRT = 1 , atm cdot 40 , L0.0821 , L cdot atm / mol cdot K cdot 300 , K approx 1.63 , mol
Agora, na transformação B-C, a temperatura cai de 600 K para 300 K. Pela lei dos gases ideais:
VCVB = TCTB = 300600 = 0.5 Rightarrow VC = 0.5 VB
Então, a variação de volume é De. Calculando o trabalho:
w = P cdot De
Convertendo para calorias (1 L·atm ≈ 24 cal):
w = -40 cdot 24 = -960 , cal
O calor q para processos isobáricos é:
q = n cdot Cp cdot De
Sabemos que Cp = Cv + R = 3 + 1.987 approx 4.987 , cal/K/mol.
Então,
q = 1.63 cdot 4.987 cdot (-300) approx -2438 , cal
A variação da energia interna ( De) é:
De
A variação da entalpia ( De) para processo isobárico:
De

Passo 4

Finalmente, vamos para a terceira transformação, III) C-A, onde o gás é expandido isotermicamente (temperatura constante) até retornar às condições iniciais. Para processos isotérmicos em gases ideais, a variação da energia interna é zero ( De).
O trabalho realizado é:
w = -nRT ln ( VAVC )
Sabendo que VA = 40 , L e VC = 20 , L,
w = -1.63 cdot 1.987 cdot 300 cdot ln ( 4020 ) approx -1.63 cdot 1.987 cdot 300 cdot 0.693 approx -676 , cal
Como De, o calor q absorvido pelo sistema é igual ao trabalho realizado:
q = -w = 676 , cal
A variação da entalpia ( De) é:
De

Resposta

Tabela Resumo das Transformações:
Transformação q (cal) w (cal) De (cal) De (cal)
I) A-B 900n 0 900n 1496.1n
II) B-C -2438 -960 -3398 -4358
III) C-A 676 -676 0 0
Gráfico Qualitativo PX V:
O gráfico P versus V apresenta três etapas:
  1. A-B: Processo isocórico (volume constante), subida vertical no gráfico.
  2. B-C: Processo isobárico (pressão constante), descida horizontal no gráfico.
  3. C-A: Processo isotérmico, curva hiperbólica retornando ao ponto inicial.
[Imagine um gráfico com as etapas descritas acima claramente marcadas.]

Exercícios relacionados