Um gás ideal, cuja razão entre os calores específicos à pressão e volume constante é igual a
passa por uma expansão adiabática com razão de expansão (i.e. a razão entre volume final e inicial)
. Podemos subdividir esse processo em duas partes, sendo que, em cada uma, a variação do volume é metade da variação total. A razão entre a variação da pressão do gás na primeira metade da expansão pela variação da pressão na segunda metade é:
a)
b)
C)
d) 1
e)
b)
C)
d) 1
e)
Passo 1
Dados do enunciado (vou listar tudo explicitamente para não ficarmos perdidos):
- Temos um gás ideal que sofre uma expansão adiabática.
- A razão entre os calores específicos é
. - A razão de expansão total é
(ou seja, o volume final é ). - O processo é dividido em duas partes tais que “em cada uma, a variação do volume é metade da variação total”. Portanto o primeiro trecho vai de
até um volume intermediário , e o segundo trecho vai de até . - O que a questão pede: a razão entre a variação da pressão na primeira metade e a variação da pressão na segunda metade, isto é
onde, por convenção natural para uma expansão, tomaremos as variações como magnitudes positivas:
Passo 2
Entendendo a relação adiabática que vamos usar (a fórmula e o que cada símbolo significa):
- Para uma expansão adiabática reversível de um gás ideal vale a lei
- Aqui
é a pressão instantânea do gás, é o volume instantâneo, e é a razão . - Essa relação significa que a pressão varia com o volume segundo a lei
onde
é uma constante que depende das condições iniciais (por exemplo
). Vamos usar essa forma para escrever
em função dos volumes correspondentes.
Passo 3
Determinar o volume intermediário
(onde termina a “primeira metade” do processo de volume):
- A variação total de volume é
. - A primeira metade da variação corresponde a metade disso,
. Então o volume no ponto médio é
- Resumo:
.
Passo 4
Escrever as pressões nos três instantes usando
:
- Se
, então
- Para o ponto médio:
- Para o final:
Passo 5
Calcular as variações de pressão (magnitudes) na primeira e na segunda metade:
- Primeira metade (de
a ):
- Segunda metade (de
a ):
Passo 6
Formar a razão pedida e simplificar passo a passo:
- A razão é
- Para simplificar multiplicamos numerador e denominador por
. Isso é um truque padrão para eliminar expoentes negativos e deixar potências positivas; multiplicar numerador e denominador por uma mesma quantidade não altera a razão. Fazendo isso obtemos
- Note que
. Então
Passo 7
Transformar a expressão para comparar com as alternativas (colocar numa forma equivalente usada nas alternativas):
- Escrevemos
. Substituindo isso em numerador e multiplicando numerador e denominador por (de novo, multiplicar numerador e denominador por a mesma expressão mantém a razão) obtém-se:
- Agora note que a alternativa (b) é escrita como
- Mas
- Portanto a expressão anterior é idêntica a (b), pois
Passo 8
Conclusão e confirmação: a razão pedida coincide com a alternativa (b). Se você estiver fazendo isso na prova, o caminho essencial é: usar
constante, calcular
, escrever
em cada ponto como
, formar as diferenças e simplificar com multiplicações por potências para deixar a expressão parecida com as alternativas.
Resposta
(b)