Um gás ideal, cuja razão entre os calores específicos à pressão e volume constante é igual a gamma \equiv c_{p} / c_{v^{'}} passa por uma expansão adiabática com razão de expansão (i.e. a razão entre volume final e inicial) boldsymbol{r} \equiv V_{f} / V_{i}. Podemos subdividir esse processo em duas partes, sendo que, em cada uma, a variação do volume é metade da variação total. A razão entre a variação da pressão do gás na primeira metade da expansão pela variação da pressão na segunda metade é:
a) \frac{2^{\gamma}-1}{\left(\frac{1+r}{2 r}\right)^{\gamma}-1}
b) \frac{(1+r)^{\gamma}-2^{\gamma}}{2^{\gamma}-\left(\frac{1+r}{r}\right)^{\gamma}}
C) r^{\gamma}
d) 1
e) r

Passo 1

Dados do enunciado (vou listar tudo explicitamente para não ficarmos perdidos):
  • Temos um gás ideal que sofre uma expansão adiabática.
  • A razão entre os calores específicos é \gamma \equiv c_{p}/c_{v'}.
  • A razão de expansão total é \,r \equiv V_{f}/V_{i}\, (ou seja, o volume final é \,V_{f}=rV_{i}\,).
  • O processo é dividido em duas partes tais que “em cada uma, a variação do volume é metade da variação total”. Portanto o primeiro trecho vai de V_{i} até um volume intermediário V_{m}, e o segundo trecho vai de V_{m} até V_{f}.
  • O que a questão pede: a razão entre a variação da pressão na primeira metade e a variação da pressão na segunda metade, isto é
\frac{\Delta P_{\text{1ª metade}}}{\Delta P_{\text{2ª metade}}}ªª
onde, por convenção natural para uma expansão, tomaremos as variações como magnitudes positivas:
\Delta P_{1}=P_{i}-P_{m},\qquad \Delta P_{2}=P_{m}-P_{f}.

Passo 2

Entendendo a relação adiabática que vamos usar (a fórmula e o que cada símbolo significa):
  • Para uma expansão adiabática reversível de um gás ideal vale a lei
P\,V^{\gamma}=\text{constante}.
  • Aqui \,P é a pressão instantânea do gás, \,V é o volume instantâneo, e \gamma é a razão \,c_{p}/c_{v'}.
  • Essa relação significa que a pressão varia com o volume segundo a lei
P = K\,V^{-\gamma},
onde K é uma constante que depende das condições iniciais (por exemplo K=P_{i}V_{i}^{\gamma}). Vamos usar essa forma para escrever P_{i},P_{m},P_{f} em função dos volumes correspondentes.

Passo 3

Determinar o volume intermediário V_{m} (onde termina a “primeira metade” do processo de volume):
  • A variação total de volume é \,V_{f}-V_{i}=V_{i}(r-1).
  • A primeira metade da variação corresponde a metade disso, \tfrac{1}{2}V_{i}(r-1). Então o volume no ponto médio é
V_{m}=V_{i}+\frac{1}{2}\big(V_{f}-V_{i}\big) =V_{i}+\frac{1}{2}V_{i}(r-1) =V_{i}\frac{1+r}{2}.
  • Resumo: \,V_{m}=V_{i}\dfrac{1+r}{2}.

Passo 4

Escrever as pressões nos três instantes usando P=K V^{-\gamma}:
  • Se K=P_{i}V_{i}^{\gamma}, então
P_{i}=K\,V_{i}^{-\gamma}.
  • Para o ponto médio:
P_{m}=K\,V_{m}^{-\gamma}=K\left(V_{i}\frac{1+r}{2}\right)^{-\gamma} =K\,V_{i}^{-\gamma}\left(\frac{1+r}{2}\right)^{-\gamma} =P_{i}\left(\frac{1+r}{2}\right)^{-\gamma}.
  • Para o final:
P_{f}=K\,V_{f}^{-\gamma}=K\,(rV_{i})^{-\gamma}=P_{i}\,r^{-\gamma}.

Passo 5

Calcular as variações de pressão (magnitudes) na primeira e na segunda metade:
  • Primeira metade (de V_{i} a V_{m}):
\Delta P_{1}=P_{i}-P_{m} = P_{i} - P_{i}\left(\frac{1+r}{2}\right)^{-\gamma} = P_{i}\left[1-\left(\frac{1+r}{2}\right)^{-\gamma}\right].
  • Segunda metade (de V_{m} a V_{f}):
\Delta P_{2}=P_{m}-P_{f} = P_{i}\left(\frac{1+r}{2}\right)^{-\gamma} - P_{i}r^{-\gamma} = P_{i}\left[\left(\frac{1+r}{2}\right)^{-\gamma}-r^{-\gamma}\right].

Passo 6

Formar a razão pedida e simplificar passo a passo:
  • A razão é
\frac{\Delta P_{1}}{\Delta P_{2}} = \frac{1-\left(\dfrac{1+r}{2}\right)^{-\gamma}}{\left(\dfrac{1+r}{2}\right)^{-\gamma}-r^{-\gamma}}.
  • Para simplificar multiplicamos numerador e denominador por \left(\dfrac{1+r}{2}\right)^{\gamma}. Isso é um truque padrão para eliminar expoentes negativos e deixar potências positivas; multiplicar numerador e denominador por uma mesma quantidade não altera a razão. Fazendo isso obtemos
\frac{\Delta P_{1}}{\Delta P_{2}} = \frac{\left(\dfrac{1+r}{2}\right)^{\gamma}-1}{1-\left(\dfrac{1+r}{2}\cdot\frac{1}{r}\right)^{\gamma}}.
  • Note que \left(\dfrac{1+r}{2}\cdot\frac{1}{r}\right)^{\gamma}=\left(\dfrac{1+r}{2r}\right)^{\gamma}. Então
\frac{\Delta P_{1}}{\Delta P_{2}} = \frac{\left(\dfrac{1+r}{2}\right)^{\gamma}-1}{1-\left(\dfrac{1+r}{2r}\right)^{\gamma}}.

Passo 7

Transformar a expressão para comparar com as alternativas (colocar numa forma equivalente usada nas alternativas):
  • Escrevemos \left(\dfrac{1+r}{2}\right)^{\gamma}=\dfrac{(1+r)^{\gamma}}{2^{\gamma}}. Substituindo isso em numerador e multiplicando numerador e denominador por 2^{\gamma}r^{\gamma} (de novo, multiplicar numerador e denominador por a mesma expressão mantém a razão) obtém-se:
\frac{\Delta P_{1}}{\Delta P_{2}} = \frac{\dfrac{(1+r)^{\gamma}-2^{\gamma}}{2^{\gamma}}} {\dfrac{2^{\gamma}r^{\gamma}-(1+r)^{\gamma}}{2^{\gamma}r^{\gamma}}} = r^{\gamma}\,\frac{(1+r)^{\gamma}-2^{\gamma}}{2^{\gamma}r^{\gamma}-(1+r)^{\gamma}}.
  • Agora note que a alternativa (b) é escrita como
\frac{(1+r)^{\gamma}-2^{\gamma}}{2^{\gamma}-\left(\dfrac{1+r}{r}\right)^{\gamma}}.
  • Mas
2^{\gamma}-\left(\dfrac{1+r}{r}\right)^{\gamma} =\frac{2^{\gamma}r^{\gamma}-(1+r)^{\gamma}}{r^{\gamma}}.
  • Portanto a expressão anterior é idêntica a (b), pois
r^{\gamma}\,\frac{(1+r)^{\gamma}-2^{\gamma}}{2^{\gamma}r^{\gamma}-(1+r)^{\gamma}} =\frac{(1+r)^{\gamma}-2^{\gamma}}{2^{\gamma}-\left(\dfrac{1+r}{r}\right)^{\gamma}}.

Passo 8

Conclusão e confirmação: a razão pedida coincide com a alternativa (b). Se você estiver fazendo isso na prova, o caminho essencial é: usar PV^{\gamma}= constante, calcular V_{m}, escrever P em cada ponto como K V^{-\gamma}, formar as diferenças e simplificar com multiplicações por potências para deixar a expressão parecida com as alternativas.

Resposta

(b)

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