Uma turbina com 8,0 \mathrm{~m} de diâmetro está girando a 800 rpm . (a) Qual a velocidade angular da turbina em rad/s? (b) Qual a velocidade linear de um ponto na sua borda? (c) Que aceleração angular constante ( \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2} ) aumentara a sua velocidade para 1000 rpm em 20 s ? (d) Quantas revoluções completara durante esse intervalo de tempo?

Passo 1

O enunciado dá uma turbina com diâmetro 8{,}0\\ \mathrm{m} que está girando a 800\\ \mathrm{rpm} e pede quatro coisas:
  1. (a) A velocidade angular em \mathrm{rad/s}.
  2. (b) A velocidade linear de um ponto na borda (isto é, na periferia) em \mathrm{m/s}.
  3. (c) A aceleração angular constante em \mathrm{rad/s^{2}} necessária para aumentar a velocidade de 800\\ \mathrm{rpm} para 1000\\ \mathrm{rpm} em 20\\ \mathrm{s}.
  4. (d) Quantas revoluções serão completadas durante esses 20\\ \mathrm{s}.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
\text{diâmetro} = 8{,}0\\ \mathrm{m}â
\text{raio } r = \frac{8{,}0}{2} = 4{,}0\\ \mathrm{m}
\omega_i = 800\\ \mathrm{rpm}
\omega_f = 1000\\ \mathrm{rpm}
\Delta t = 20\\ \mathrm{s}

Passo 2

Vamos aprender a converter rotações por minuto para radianos por segundo. Uma rotação completa (uma volta) equivale a 2\pi radianos. Além disso, 1\\ \mathrm{rpm} significa uma rotação por minuto, ou seja 1/60 rotações por segundo. Assim a relação de conversão é:
\omega\\ (\mathrm{rad/s}) = 2\pi \times \left(\frac{\text{rpm}}{60}\right).
Isso significa: primeiro transformo rpm em rotações por segundo dividindo por 60, depois multiplico por 2\pi para passar de rotações para radianos.

Passo 3

Aplicando a fórmula do passo anterior para \omega_i = 800\\ \mathrm{rpm}:
\omega_i = 2\pi \cdot \left(\frac{800}{60}\right).
Simplificando a fração:
\omega_i = 2\pi \cdot \frac{800}{60} = \frac{1600\pi}{60} = \frac{80\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}.
Se quiser um valor numérico aproximado:
\omega_i \approx \frac{80\pi}{3} \approx 83{,}78\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Agora a velocidade linear na borda: a relação entre velocidade linear v (em \mathrm{m/s}) e velocidade angular \omega (em \mathrm{rad/s}) é
v = \omega \, r,
onde r é o raio em metros. Isso vem do fato de que em uma rotação angular de \omega rad/s, um ponto a distância r descreve um arco com velocidade linear r\omega.
Usando r = 4{,}0\\ \mathrm{m} e \omega_i = \dfrac{80\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}:
v = \frac{80\pi}{3}\cdot 4{,}0 = \frac{320\pi}{3}\\ \mathrm{m/s}.
Valor numérico aproximado:
v \approx \frac{320\pi}{3} \approx 335{,}10\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Para (c) precisamos da aceleração angular constante \alpha que leva de \omega_i a \omega_f em tempo \Delta t. A fórmula da cinemática rotacional (análogo a a=(v_f-v_i)/t na translação) é:
\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{\Delta t}.
Então primeiro convertemos \omega_f = 1000\\ \mathrm{rpm} para \mathrm{rad/s} usando a mesma regra do passo 2.

Passo 6

Converter \omega_f:
\omega_f = 2\pi \cdot \left(\frac{1000}{60}\right) = \frac{2000\pi}{60} = \frac{100\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}.
Agora calculamos \alpha:
\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{\Delta t} = \frac{\frac{100\pi}{3} - \frac{80\pi}{3}}{20} = \frac{\frac{20\pi}{3}}{20} = \frac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s^{2}}.
Valor numérico aproximado:
\alpha \approx \frac{\pi}{3} \approx 1{,}0472\\ \mathrm{rad/s^{2}}.

Passo 7

Para (d) queremos o número de revoluções completadas em 20\\ \mathrm{s} durante a aceleração angular constante. Usamos a equação de deslocamento angular (análogo a s = v_i t + \tfrac{1}{2} a t^2):
\theta = \omega_i\, t + \tfrac{1}{2}\alpha t^2,
onde \theta é o deslocamento angular em radianos. Depois, revoluções N é
N = \frac{\theta}{2\pi}.

Passo 8

Calculemos \theta com os valores já obtidos: \omega_i = \dfrac{80\pi}{3}, \alpha = \dfrac{\pi}{3}, t=20\\ \mathrm{s}.
\theta = \frac{80\pi}{3}\cdot 20 + \tfrac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}\cdot 20^{2}.
Calcule termo a termo:
\frac{80\pi}{3}\cdot 20 = \frac{1600\pi}{3},
\tfrac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}\cdot 20^{2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{3}\cdot 400 = \frac{200\pi}{3}.
Somando:
\theta = \frac{1600\pi}{3} + \frac{200\pi}{3} = \frac{1800\pi}{3} = 600\pi\\ \mathrm{rad}.
Agora o número de revoluções:
N = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{600\pi}{2\pi} = 300\\ \text{revoluções}.çõ

Resposta

(a) \dfrac{80\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s}\\ \approx 83{,}78\\ \mathrm{rad/s}
(b) \dfrac{320\pi}{3}\\ \mathrm{m/s}\\ \approx 335{,}10\\ \mathrm{m/s}
(c) \dfrac{\pi}{3}\\ \mathrm{rad/s^{2}}\\ \approx 1{,}0472\\ \mathrm{rad/s^{2}}
(d) 300\\ \text{revoluções}çõ

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