Uma turbina com
de diâmetro está girando a 800 rpm . (a) Qual a velocidade angular da turbina em rad/s? (b) Qual a velocidade linear de um ponto na sua borda? (c) Que aceleração angular constante (
) aumentara a sua velocidade para 1000 rpm em 20 s ? (d) Quantas revoluções completara durante esse intervalo de tempo?
Passo 1
O enunciado dá uma turbina com diâmetro
que está girando a
e pede quatro coisas:
- (a) A velocidade angular em
. - (b) A velocidade linear de um ponto na borda (isto é, na periferia) em
. - (c) A aceleração angular constante em
necessária para aumentar a velocidade de para em . - (d) Quantas revoluções serão completadas durante esses
.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
Passo 2
Vamos aprender a converter rotações por minuto para radianos por segundo. Uma rotação completa (uma volta) equivale a
radianos. Além disso,
significa uma rotação por minuto, ou seja
rotações por segundo. Assim a relação de conversão é:
Isso significa: primeiro transformo rpm em rotações por segundo dividindo por
, depois multiplico por
para passar de rotações para radianos.
Passo 3
Aplicando a fórmula do passo anterior para
:
Simplificando a fração:
Se quiser um valor numérico aproximado:
Passo 4
Agora a velocidade linear na borda: a relação entre velocidade linear
(em
) e velocidade angular
(em
) é
onde
é o raio em metros. Isso vem do fato de que em uma rotação angular de
rad/s, um ponto a distância
descreve um arco com velocidade linear
.
Usando
e
:
Valor numérico aproximado:
Passo 5
Para (c) precisamos da aceleração angular constante
que leva de
a
em tempo
. A fórmula da cinemática rotacional (análogo a
na translação) é:
Então primeiro convertemos
para
usando a mesma regra do passo 2.
Passo 6
Converter
:
Agora calculamos
:
Valor numérico aproximado:
Passo 7
Para (d) queremos o número de revoluções completadas em
durante a aceleração angular constante. Usamos a equação de deslocamento angular (análogo a
):
onde
é o deslocamento angular em radianos. Depois, revoluções
é
Passo 8
Calculemos
com os valores já obtidos:
,
,
.
Calcule termo a termo:
Somando:
Agora o número de revoluções:
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)