Para um gás ideal diatômico a temperatura ambiente ( 5 graus de liberdade), qual é a variação de energia interna quando 2 mols são aquecidos de 50^{\circ} \mathrm{C} para 150^{\circ} \mathrm{C} ? ( \mathrm{R}=8,31
\mathrm{J} \cdot \mathrm{mol}^{-1} \cdot \mathrm{~K}^{-1} )
◯ a) 4,2 \times 10^{3} \mathrm{~J}
◯ b) 6,2 \times 10^{3} \mathrm{~J}
◯ c) 8,3 \times 10^{3} \mathrm{~J}
◯ d) 1,0 \times 10^{4} \mathrm{~J}
◯ e) 1,2 \times 10^{4} \mathrm{~J}

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Número de mols: n=2.
    • Gás diatômico à temperatura ambiente com 5 graus de liberdade (portanto f=5).
    • Temperatura inicial: T_1=50^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura final: T_2=150^\circ\mathrm{C}.
    • Constante dos gases: R=8{,}31\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • O que é pedido:
    • A variação da energia interna \Delta U quando o gás é aquecido de 50^\circ\mathrm{C} para 150^\circ\mathrm{C}.
Observação numérica que vou usar em seguida: a variação de temperatura em kelvin é
\Delta T = T_2-T_1.
Como diferenças de temperatura em kelvin e em graus Celsius são iguais, \Delta T = 150-50 = 100\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Apresentar a fórmula e explicar por que ela vale.
Para um gás ideal, a energia interna depende apenas da temperatura. A variação da energia interna ao aquecer uma quantidade n de mols a volume constante é dada por
\Delta U = n\,C_V\,\Delta T,
onde:
  • n é o número de mols (aqui n=2),
  • C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (unidade \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em kelvin).
Explicação didática sobre C_V: cada grau de liberdade contribui com \tfrac{1}{2}R para a capacidade calorífica molar C_V do gás ideal (energia por mol por kelvin). Como foi dado que o gás diatômico tem 5 graus de liberdade (3 de translação + 2 de rotação, típico à temperatura ambiente), temos
C_V = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R.
Aqui f é o número de graus de liberdade; isto é uma regra básica da teoria da energia interna de gases ideais (teorema equipartição da energia para modos não excitados).

Passo 3

Calcular numericamente C_V.
Substituindo R=8{,}31 e f=5:
C_V = \frac{5}{2}\cdot 8{,}31 = 2{,}5\cdot 8{,}31 = 20{,}775\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.

Passo 4

Calcular \Delta U com a fórmula \Delta U = n C_V \Delta T.
Substituindo n=2, C_V=20{,}775\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}} e \Delta T=100\\ \mathrm{K}:
\Delta U = 2 \cdot 20{,}775 \cdot 100 = 41{,}55 \cdot 100 = 4{,}155\times10^{3}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para duas figuras significativas (como nas opções), isso é aproximadamente
\Delta U \approx 4{,}2\times10^{3}\\ \mathrm{J}.

Resposta

(a) 4{,}2\times10^{3}\\ \mathrm{J}

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