1. Um gás ideal experimenta uma compressão adiabática de p=122 kPa, V=10,7 m^3, T=-23,0^circ C para p=1450 kPa, V=1,36 m^3.
    (a) Calcule o valor de y.
    (b) Determine a temperatura final.
    © Quantos moles de gás estão presentes?
    (d) Qual a energia cinética de translação total por mol, antes e após a compressão?
    (e) Calcule a razão entre as velocidades rms antes e depois da compressão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala de uma compressão adiabática de um gás ideal, isto é, um processo onde não rola troca de calor com o meio. Temos:
  • Estado inicial: p₁ = 122 kPa, V₁ = 10,7 m³, T₁ = –23,0 °C
  • Estado final: p₂ = 1450 kPa, V₂ = 1,36 m³
Conteúdo: termodinâmica de gases ideais (processo adiabático).
O que vamos usar:
  1. Equação adiabática: p Vᵞ = constante
  2. Lei dos gases ideais: p V = n R T
  3. Teoria cinética: energia de translação e velocidade rms

Passo 2

(a) Calcular γ
Num processo adiabático:
[
p_{1} V_{1}^{\gamma} ;=; p_{2} V_{2}^{\gamma}
;\Rightarrow;
\gamma

\frac{\ln(p_{2}/p_{1})}{\ln(V_{1}/V_{2})}.
]
Substituindo:
p1 V1^gamma ;=; p2 V2^gamma ;Rightarrow; gamma = ln(p2/p1)ln(V1/V2)
p2p1 = 1450122 approx 11,885, V1V2 = 10,71,36 approx 7,868,

Passo 3

(b) Temperatura final T₂
Pra um adiabático sem calor:
[
T_{2}

T_{1},\bigl(\tfrac{V_{1}}{V_{2}}\bigr)^{\gamma-1}.
]
Transforma T₁ em Kelvin:
T2 = T1,l(tfracV1V2r)^gamma-1
Então
T1 = -23,0;°C = 250,15;K

Passo 4

© Quantos mols n?
Lei dos gases ideais no estado 1:
p1V1 = n,R,T1 ;Rightarrow; n = p1V1R,T1
Com R = 8,314 J/(mol·K) e p em Pa:
n = 122000 times 10,78,314 times 250,15 approx 628;mol

Passo 5

(d) Energia cinética de translação por mol
Da teoria cinética, a energia de translação de um mol de gás é
Etrans = tfrac32,R,T
Antes (T₁) e depois (T₂):
E1 = tfrac32,8,314 times 250,15 approx 3,12times 10^3;J/mol,
E2 = tfrac32,8,314 times 378,8 approx 4,72times 10^3;J/mol

Passo 6

(e) Razão entre velocidades rms
A velocidade quadrática média é
vrms = raiz3,R,TM Rightarrow v2v1 = raizT2T1
Então
v2v1 = raiz378,8250,15 approx 1,23

Resposta

(a) γ ≈ 1,20
(b) T₂ ≈ 378,8 K (≈ 105,7 °C)
© n ≈ 628 mol
(d) E₁ ≈ 3,12×10³ J/mol e E₂ ≈ 4,72×10³ J/mol
(e) v₂/v₁ ≈ 1,23

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