Um gás ideal monoatômico ocupa um volume de 1000 L a 8 atm e 400 K . Assumindo que o gás se expande até uma pressão final de 1 atm, calcule o volume e a temperatura finais, o trabalho, o calor e a variação de energia interna para cada um dos seguintes processos:
expansão adiabática reversivel;

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal monoatômico com P_{1}=8\\ \text{atm}, V_{1}=1000\\ \text{L} e T_{1}=400\\ \text{K}, que se expande reversivelmente sem troca de calor até P_{2}=1\\ \text{atm}. Queremos achar o volume final V_{2}, a temperatura final T_{2}, o trabalho W, o calor Q e a variação de energia interna \Delta U. Para isso vamos usar as relações do processo adiabático reversível e a primeira lei da termodinâmica.

Passo 2

Num gás monoatômico a razão de capacidades térmicas é
\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}} = \frac{5}{3}.

Passo 3

No processo adiabático reversível vale
P_{1}V_{1}^{\gamma} \;=\; P_{2}V_{2}^{\gamma}
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V_{2} \;=\; V_{1}\,\Bigl(\frac{P_{1}}{P_{2}}\Bigr)^{\!1/\gamma} =1000\;\text{L}\times 8^{3/5} \approx 3480\;\text{L}.

Passo 4

Também para adiabática reversível vale T\,V^{\gamma-1}= constante, ou
T_{2} \;=\; T_{1}\,\Bigl(\frac{V_{1}}{V_{2}}\Bigr)^{\gamma-1} =400\;\text{K}\times\Bigl(\frac{1}{8}\Bigr)^{2/5} \approx 174\;\text{K}.

Passo 5

O número de mols é dado por n=\frac{P_{1}V_{1}}{R\,T_{1}}. Em unidades SI,
P_{1}V_{1}=8\times101325\;\text{Pa}\times1{,}0\;\text{m}^{3}, \quad R=8{,}314\;\frac{\text{J}}{\text{mol⋅K}},
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n=\frac{8\times101325\times1{,}0}{8{,}314\times400} \approx 244\;\text{mol}.

Passo 6

Para adiabática reversível não há calor trocado, então Q=0. O trabalho realizado pelo gás é
W \;=\;\int_{V_{1}}^{V_{2}} P\,dV =\frac{P_{2}V_{2}-P_{1}V_{1}}{1-\gamma} \approx 6{,}87\times10^{5}\;\text{J}.
Pela primeira lei \Delta U=Q-W, então
\Delta U = 0 - 6{,}87\times10^{5}\;\text{J} = -6{,}87\times10^{5}\;\text{J}.

Resposta

V_{2}\approx3480\\ \text{L}, T_{2}\approx174\\ \text{K}, W\approx6{,}87\times10^{5}\\ \text{J}, Q=0, \Delta U\approx-6{,}87\times10^{5}\\ \text{J}.

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