Um mol de gás ideal se comprime adiabaticamente em uma única etapa com uma pressão externa constante e igual a 10 atm. Inicialmente, o gás está a 27^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm ; a pressão final é de 10 atm . Calcule a temperatura final do gás, \mathrm{w}, \mathrm{q}, \Delta \mathrm{U} e \Delta \mathrm{H}, para as duas situações:
gás diatômico.

Passo 1

O enunciado descreve a compressão adiabática irreversível de n=1 mol de gás ideal diatômico sob pressão externa constante P_{\text{ext}}=10 atm, partindo de T_i=27^\circ\mathrm C=300 K e P_i=1 atm, até P_f=P_{\text{ext}}=10 atm. Como é adiabático, q=0 e vale a primeira lei na forma
\Delta U = q + w = w.
Para o gás diatômico temos C_V=\tfrac{5}{2}R e C_P=\tfrac{7}{2}R.

Passo 2

A equação de estado dá os volumes inicial e final em função de T_i e T_f:
V_i=\frac{nR\,T_i}{P_i}, \quad V_f=\frac{nR\,T_f}{P_{\text{ext}}}.
O trabalho de compressão é
w=-P_{\text{ext}}\,(V_f-V_i) =-P_{\text{ext}}\Bigl(\frac{nR\,T_f}{P_{\text{ext}}}-\frac{nR\,T_i}{P_i}\Bigr) =-nR\,T_f+ nR\,T_i\frac{P_{\text{ext}}}{P_i}.
Como P_i=1 atm e P_{\text{ext}}=10 atm,
w=-nR\,T_f + 10\,nR\,T_i.

Passo 3

Para o gás diatômico,
\Delta U = nC_V\,(T_f-T_i) =\frac{5}{2}nR\,(T_f-T_i).
Como q=0, impomos \Delta U=w, ou seja,
\frac{5}{2}nR\,(T_f-T_i) =-nR\,T_f+10\,nR\,T_i.

Passo 4

Cancelando nR e multiplicando por 2:
5\,(T_f-T_i) = -2\,T_f +20\,T_i \;\Longrightarrow\; 5T_f -5T_i = -2T_f +20T_i \;\Longrightarrow\; 7T_f =25\,T_i \;\Longrightarrow\; T_f = \frac{25}{7}T_i = \frac{25}{7}\times 300\approx 1071{,}4\text{ K}.

Passo 5

Usando T_f no trabalho:
w = -nR\,T_f +10\,nR\,T_i =-1\times8{,}314\,(1071{,}4 -10\cdot300)\approx 1{,}60\times10^{4}\text{ J}.

Passo 6

Calculamos
\Delta U = nC_V\,(T_f-T_i) =\frac{5}{2}\,8{,}314\,(1071{,}4-300)\approx 1{,}60\times10^{4}\text{ J},
\Delta H = nC_P\,(T_f-T_i) =\frac{7}{2}\,8{,}314\,(1071{,}4-300)\approx 2{,}24\times10^{4}\text{ J},
e como é adiabático irreversível, q=0.

Resposta

T_f\approx1071{,}4 K w\approx1{,}60\times10^{4} J q=0 \Delta U\approx1{,}60\times10^{4} J \Delta H\approx2{,}24\times10^{4} J

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