Um gás ideal com n moles e de coeficiente Upsilon que se encontra a temperatura T0 e ocupa um volume V0 sofre uma expansão isotérmica e seu volume passa a ser igual a V1. Em seguida é isolado termicamente e se expande adiabaticamente até seu volume ser igual a V2.
Calcule o trabalho total realizado pelo gás.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica juntos! A gente tem um gás ideal com $ n $ mols e coeficiente $ \Upsilon $ (que geralmente representamos por $ \gamma $) na temperatura $ T_0 $ e volume $ V_0 $. Esse gás passa por duas etapas de expansão: primeiro isotérmica (temperatura constante) até o volume $ V_1 $, e depois adiabática (sem troca de calor) até o volume $ V_2 $. Nosso objetivo é calcular o trabalho total realizado pelo gás nessas duas expansões. Para isso, vamos precisar entender as leis dos gases ideais e as fórmulas de trabalho em processos isoterma e adiabático.

Passo 2

Vamos começar pela expansão isotérmica. Nesse processo, a temperatura do gás permanece constante ($ T = T_0 $). A fórmula para o trabalho realizado nessa expansão é:
T = T0 é
Aqui, $ R $ é a constante dos gases ideais, e $ \ln $ representa o logaritmo natural. Essa fórmula vem da relação $ W = \int P , dV $ para temperatura constante, onde $ P $ é a pressão do gás.

Passo 3

Agora vamos para a expansão adiabática. Nesse processo, não há troca de calor com o ambiente ($ Q = 0 $). A relação entre pressão e volume para um processo adiabático é dada por:
Q = 0
onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $ é o coeficiente adiabático. O trabalho realizado no processo adiabático pode ser calculado pela fórmula:
P V^gamma = constante á
Mas, como não temos os valores de pressão, vamos usar outra abordagem. Sabemos que a temperatura após a expansão isotérmica é $ T_0 $, e após a adiabática será $ T_2 $. A relação entre as temperaturas e volumes na expansão adiabática é:
gamma = CpCv
Como $ T_1 = T_0 $, podemos encontrar $ T_2 $.

Passo 4

Vamos relacionar as variáveis usando a lei dos gases ideais. Após a expansão isotérmica, temos:
P1 V1 = n R T0
E, na expansão adiabática:
P2 V2^gamma = P1 V1^gamma
Podemos dividir essas duas equações para eliminar as pressões:

Passo 5

Agora que temos $ T_2 $, podemos calcular o trabalho na expansão adiabática usando a relação:
T2 á
Substituindo $ T_2 $:
Wadiabático = n R (T2 - T0)1 - gamma á
Simplificando:
T2 á

Resposta

O trabalho total realizado pelo gás é a soma dos trabalhos nas expansões isotérmica e adiabática:
Wtotal = nRT0 ln(V1V0) + n R T0 [(V1V2)^gamma - 1 - 1]1 - gamma

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