Um gás ideal com
moles e de coeficiente
que se encontra a temperatura
e ocupa um volume
sofre uma expansão isotérmica e seu volume passa a ser igual a
. Em seguida é isolado termicamente e se expande adiabaticamente até seu volume ser igual a
.
Calcule o trabalho total realizado pelo gás.
Calcule o trabalho total realizado pelo gás.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica juntos! A gente tem um gás ideal com $ n $ mols e coeficiente $ \Upsilon $ (que geralmente representamos por $ \gamma $) na temperatura $ T_0 $ e volume $ V_0 $. Esse gás passa por duas etapas de expansão: primeiro isotérmica (temperatura constante) até o volume $ V_1 $, e depois adiabática (sem troca de calor) até o volume $ V_2 $. Nosso objetivo é calcular o trabalho total realizado pelo gás nessas duas expansões. Para isso, vamos precisar entender as leis dos gases ideais e as fórmulas de trabalho em processos isoterma e adiabático.
Passo 2
Vamos começar pela expansão isotérmica. Nesse processo, a temperatura do gás permanece constante ($ T = T_0 $). A fórmula para o trabalho realizado nessa expansão é:
Aqui, $ R $ é a constante dos gases ideais, e $ \ln $ representa o logaritmo natural. Essa fórmula vem da relação $ W = \int P , dV $ para temperatura constante, onde $ P $ é a pressão do gás.
Passo 3
Agora vamos para a expansão adiabática. Nesse processo, não há troca de calor com o ambiente ($ Q = 0 $). A relação entre pressão e volume para um processo adiabático é dada por:
onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $ é o coeficiente adiabático. O trabalho realizado no processo adiabático pode ser calculado pela fórmula:
Mas, como não temos os valores de pressão, vamos usar outra abordagem. Sabemos que a temperatura após a expansão isotérmica é $ T_0 $, e após a adiabática será $ T_2 $. A relação entre as temperaturas e volumes na expansão adiabática é:
Como $ T_1 = T_0 $, podemos encontrar $ T_2 $.
Passo 4
Vamos relacionar as variáveis usando a lei dos gases ideais. Após a expansão isotérmica, temos:
E, na expansão adiabática:
Podemos dividir essas duas equações para eliminar as pressões:
Passo 5
Agora que temos $ T_2 $, podemos calcular o trabalho na expansão adiabática usando a relação:
Substituindo $ T_2 $:
Simplificando:
Resposta
O trabalho total realizado pelo gás é a soma dos trabalhos nas expansões isotérmica e adiabática: