Em um gás ideal, a pressão está aumentando a uma taxa de
e a temperatura está aumentando a uma taxa de
. Sabendo que a pressão, o volume e a temperatura estão relacionados pela equação
, encontre a taxa de variação do volume quando a pressão for
e a temperatura for
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás ideal onde a pressão $ P $ está aumentando a uma taxa de $ 0,06 \ \mathrm{kPa/s} $ e a temperatura $ T $ está aumentando a uma taxa de $ 0,15 \ \mathrm{K/s} $. A relação entre pressão, volume $ V $ e temperatura é dada por $ P V = 8,31 T
\frac{dV}{dt} $) quando a pressão é $ 24,93 \ \mathrm{kPa} $ e a temperatura é $ 423,81 \ \mathrm{K} $. Para resolver isso, vamos usar cálculo de taxas relacionadas, ou seja, derivadas envolvendo múltiplas variáveis que mudam com o tempo.
Passo 2
Vamos começar diferenciando a equação $ P V = 8,31 T $ em relação ao tempo $ t $. Isso nos ajuda a relacionar as taxas de variação de $ P $, $ V $ e $ T $.
Passo 3
Aplicando a regra do produto na derivada da esquerda, temos:
Aqui, $ \frac{dV}{dt} $ é a taxa de variação do volume que queremos encontrar.
Passo 4
Vamos isolar $ \frac{dV}{dt} $ na equação:
Passo 5
Precisamos dos valores de $ P $, $ T $ e $ \frac{dV}{dt} $ no momento considerado. Já temos $ P = 24,93 \ \mathrm{kPa} $ e $ T = 423,81 \ \mathrm{K} $. Primeiro, vamos encontrar o volume $ V $ usando a equação original $ P V = 8,31 T $:
Passo 6
Calculando $ V $:
Passo 7
Agora, substituímos todos os valores na equação para $ \frac{dV}{dt} $:
Passo 8
Calculando os valores:
Resposta
A taxa de variação do volume é aproximadamente $ -0,29 \ \mathrm{L/s} $.