Em um gás ideal, a pressão está aumentando a uma taxa de 0,06 kPa / s e a temperatura está aumentando a uma taxa de 0,15 K / s. Sabendo que a pressão, o volume e a temperatura estão relacionados pela equação P V=8,31 T, encontre a taxa de variação do volume quando a pressão for 24,93 kPa e a temperatura for 423,81 K.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um gás ideal onde a pressão $ P $ está aumentando a uma taxa de $ 0,06 \ \mathrm{kPa/s} $ e a temperatura $ T $ está aumentando a uma taxa de $ 0,15 \ \mathrm{K/s} $. A relação entre pressão, volume $ V $ e temperatura é dada por $ P V = 8,31 T P çã \frac{dV}{dt} $) quando a pressão é $ 24,93 \ \mathrm{kPa} $ e a temperatura é $ 423,81 \ \mathrm{K} $. Para resolver isso, vamos usar cálculo de taxas relacionadas, ou seja, derivadas envolvendo múltiplas variáveis que mudam com o tempo.

Passo 2

Vamos começar diferenciando a equação $ P V = 8,31 T $ em relação ao tempo $ t $. Isso nos ajuda a relacionar as taxas de variação de $ P $, $ V $ e $ T $.
P V = 8,31 T

Passo 3

Aplicando a regra do produto na derivada da esquerda, temos:
P dVdt + V dPdt = 8,31 dTdt
Aqui, $ \frac{dV}{dt} $ é a taxa de variação do volume que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos isolar $ \frac{dV}{dt} $ na equação:
dVdt

Passo 5

Precisamos dos valores de $ P $, $ T $ e $ \frac{dV}{dt} $ no momento considerado. Já temos $ P = 24,93 \ \mathrm{kPa} $ e $ T = 423,81 \ \mathrm{K} $. Primeiro, vamos encontrar o volume $ V $ usando a equação original $ P V = 8,31 T $:
P

Passo 6

Calculando $ V $:
V

Passo 7

Agora, substituímos todos os valores na equação para $ \frac{dV}{dt} $:
dVdt

Passo 8

Calculando os valores:
8,31 times 0,15 = 1,2465
141,084 times 0,06 = 8,46504
dVdt = 1,2465 - 8,4650424,93 approx -7,2185424,93 approx -0,2895 L/s

Resposta

A taxa de variação do volume é aproximadamente $ -0,29 \ \mathrm{L/s} $.

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