Um gás ideal a uma pressão
e a um volume inicial
, expande-se adiabaticamente até alcançar um volume
e uma pressão $P_{\mathrm{f}}. Calcule o trabalho realizado pelo gás partindo da
Lei da Termodinâmica (use que
).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um gás ideal que começa com uma pressão
e um volume inicial
. Esse gás se expande de forma adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente, e termina com um volume
e uma pressão
. Nosso objetivo aqui é calcular o trabalho que esse gás realizou durante essa expansão, usando a Primeira Lei da Termodinâmica. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de termodinâmica básica, como a Primeira Lei, processos adiabáticos e propriedades dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Primeira Lei da Termodinâmica, que basicamente diz que a variação da energia interna do sistema (
) é igual à quantidade de calor fornecido ao sistema (
) menos o trabalho realizado pelo sistema (
):
Passo 3
Como o processo é adiabático, não há troca de calor com o ambiente. Isso significa que
. Então, a equação simplifica para:
Ou seja, a variação da energia interna é igual ao trabalho realizado pelo gás, mas com sinal invertido.
Passo 4
Agora, precisamos expressar a variação da energia interna (
). Para um gás ideal, a variação da energia interna está relacionada à variação de temperatura (
) pela equação:
Aqui,
é a quantidade de mols do gás e
é a capacidade térmica molar a volume constante.
Passo 5
Substituindo essa expressão na Primeira Lei simplificada, temos:
Isso nos mostra que o trabalho realizado pelo gás está diretamente relacionado à variação da temperatura.
Passo 6
Agora, vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão (
), volume (
) e temperatura (
) de um gás:
Onde
é a constante dos gases ideais. Isso nos ajuda a relacionar as variáveis antes e depois da expansão.
Passo 7
Como o processo é adiabático, ele também obedece à relação:
Aqui,
é a razão das capacidades térmicas a pressão constante e a volume constante.
Passo 8
Vamos considerar as condições iniciais e finais do processo adiabático:
Isso nos permite relacionar
,
,
e
.
Passo 9
Agora, vamos expressar a variação de temperatura
usando a relação dos gases ideais para as condições iniciais e finais:
Passo 10
Substituindo
na equação do Passo 5:
Simplificando os termos:
Passo 11
Rearranjando para isolar o trabalho
:
Aqui, usamos a relação
e a relação entre
e
com a constante dos gases.
Resposta
O trabalho realizado pelo gás na expansão adiabática é dado por: