Um gás ideal a uma pressão Pi e a um volume inicial Vi, expande-se adiabaticamente até alcançar um volume Vf e uma pressão $P_{\mathrm{f}}. Calcule o trabalho realizado pelo gás partindo da Pf Calcu<= o trabalho realizado pelo gás partindo da Lei da Termodinâmica (use que Lei da Termodinâmica (use que ).
) á

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um gás ideal que começa com uma pressão Pi e um volume inicial Vi. Esse gás se expande de forma adiabática, ou seja, sem troca de calor com o ambiente, e termina com um volume Vf e uma pressão Pf. Nosso objetivo aqui é calcular o trabalho que esse gás realizou durante essa expansão, usando a Primeira Lei da Termodinâmica. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de termodinâmica básica, como a Primeira Lei, processos adiabáticos e propriedades dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Primeira Lei da Termodinâmica, que basicamente diz que a variação da energia interna do sistema ( De) é igual à quantidade de calor fornecido ao sistema ( Q) menos o trabalho realizado pelo sistema ( W):
De

Passo 3

Como o processo é adiabático, não há troca de calor com o ambiente. Isso significa que Q = 0. Então, a equação simplifica para:
De
Ou seja, a variação da energia interna é igual ao trabalho realizado pelo gás, mas com sinal invertido.

Passo 4

Agora, precisamos expressar a variação da energia interna ( De). Para um gás ideal, a variação da energia interna está relacionada à variação de temperatura ( De) pela equação:
De
Aqui, n é a quantidade de mols do gás e CV é a capacidade térmica molar a volume constante.

Passo 5

Substituindo essa expressão na Primeira Lei simplificada, temos:
n CV De
Isso nos mostra que o trabalho realizado pelo gás está diretamente relacionado à variação da temperatura.

Passo 6

Agora, vamos usar a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão ( P), volume ( V) e temperatura ( T) de um gás:
PV = nRT
Onde R é a constante dos gases ideais. Isso nos ajuda a relacionar as variáveis antes e depois da expansão.

Passo 7

Como o processo é adiabático, ele também obedece à relação:
PV^gamma = constante
Aqui, gamma = CPCV é a razão das capacidades térmicas a pressão constante e a volume constante.

Passo 8

Vamos considerar as condições iniciais e finais do processo adiabático:
Pi Vi^gamma = Pf Vf^gamma
Isso nos permite relacionar Pi, Vi, Pf e Vf.

Passo 9

Agora, vamos expressar a variação de temperatura De usando a relação dos gases ideais para as condições iniciais e finais:
De

Passo 10

Substituindo De na equação do Passo 5:
n CV ( Pf Vf - Pi VinR ) = -W
Simplificando os termos:
CV Pf Vf - Pi ViR = -W

Passo 11

Rearranjando para isolar o trabalho W:
W = Pf Vf - Pi Vi1 - gamma
Aqui, usamos a relação gamma = CPCV e a relação entre CP e CV com a constante dos gases.

Resposta

O trabalho realizado pelo gás na expansão adiabática é dado por:
Wadiabático = Pf Vf - Pi Vi1 - gamma á

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