Um gás monoatômico ( \mathrm{C}_{\mathrm{v}}=3 / 2 \mathrm{R} ) consistindo de n moles passa por um processo cíclico, que começa de um ponto A no plano (P, V), em que P=2 P_{0} e V=V_{0}. Ele primeiro expande-se para V=2 V_{0} à pressão constante, atingindo um ponto B . A pressão é então reduzida para \mathrm{P}_{0} a volume constante, chegando em um ponto C . Finalmente, o gás é comprimido a uma temperatura constante, voltando ao ponto A .
a) ( 2,0 ) Desenhe o diagrama PV do ciclo descrito, colocando as variáveis termodinâmicas ( \mathrm{P}, \mathrm{V}, \mathrm{T} ) de cada estado.
b) (4,0) Encontre \Delta U, Q, W e \Delta S para cada processo do ciclo e para o ciclo todo. Organize seus resultados em uma tabela.
\begin{array}{cc} P V^{\gamma}=P_{0} V_{0}^{\gamma}=\text { constante } & s(P, V)=C_{V} \ln \left(P V^{\gamma}\right)+\text { constante } \\\ s(V, T)=C_{V} \ln T+R \ln V+\text { constante } & s(P, T)=C_{P} \ln T-R \ln P+\text { constante } \\\ \mathrm{R}=8,31 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}, & 1 \mathrm{cal}=4,18 \mathrm{~J} \end{array}

Passo 1

O enunciado descreve um gás monoatômico ( C_{V}=3/2\,R) com n moles que executa o ciclo A\to B\to C\to A no diagrama P V. No ponto A temos
P_{A}=2P_{0},\;V_{A}=V_{0},\;T_{A}=\frac{P_{A}V_{A}}{nR}=\frac{2P_{0}V_{0}}{nR}.
De A a B ocorre expansão isobárica até V_{B}=2V_{0}. De B a C é resfriamento isocórico até P_{C}=P_{0}. De C a A é compressão isotérmica ( T_{C}=T_{A}). Vamos desenhar o ciclo e depois calcular \Delta U, Q, W e \Delta S em cada etapa.

Passo 2

O diagrama P V é
A(2P_{0},V_{0}) \;\xrightarrow{\text{isobárico}}\; B(2P_{0},2V_{0}) \;\xrightarrow{\text{isocórico}}\; C(P_{0},2V_{0}) \;\xrightarrow{\text{isotérmico}}\; A(2P_{0},V_{0}).áóé
As temperaturas em cada ponto são
T_{A}=\frac{2P_{0}V_{0}}{nR},\quad T_{B}=\frac{2P_{0}\,(2V_{0})}{nR}=2T_{A},\quad T_{C}=\frac{P_{0}\,(2V_{0})}{nR}=T_{A}.

Passo 3

Processo A\to B (isobárico, P=2P_{0}):
\Delta T=T_{B}-T_{A}=2T_{A}-T_{A}=T_{A}=\frac{2P_{0}V_{0}}{nR},
\Delta U=nC_{V}\Delta T =n\Bigl(\frac{3}{2}R\Bigr)\frac{2P_{0}V_{0}}{nR}=3P_{0}V_{0},
W=P\,\Delta V =2P_{0}(2V_{0}-V_{0})=2P_{0}V_{0},
Q=\Delta U+W=3P_{0}V_{0}+2P_{0}V_{0}=5P_{0}V_{0},
\Delta S=nC_{P}\ln\frac{T_{B}}{T_{A}} =n\Bigl(\frac{5}{2}R\Bigr)\ln2 =\frac{5}{2}nR\ln2.

Passo 4

Processo B\to C (isocórico, V=2V_{0}):
\Delta T=T_{C}-T_{B}=T_{A}-2T_{A}=-T_{A},
\Delta U=nC_{V}\Delta T =n\Bigl(\frac{3}{2}R\Bigr)(-T_{A}) =-3P_{0}V_{0},
W=0, \quad Q=\Delta U=-3P_{0}V_{0},
\Delta S=nC_{V}\ln\frac{T_{C}}{T_{B}} =n\Bigl(\frac{3}{2}R\Bigr)\ln\frac{1}{2} =-\frac{3}{2}nR\ln2.

Passo 5

Processo C\to A (isotérmico, T=T_{A}):
\Delta U=0, \quad W=\int_{V_{C}}^{V_{A}}P\,dV =nRT_{A}\ln\frac{V_{A}}{V_{C}} =nR\,T_{A}\ln\frac{V_{0}}{2V_{0}} =2P_{0}V_{0}\ln\frac{1}{2} =-2P_{0}V_{0}\ln2,
Q=\Delta U+W=-2P_{0}V_{0}\ln2, \quad \Delta S=\frac{Q}{T_{A}} =\frac{-2P_{0}V_{0}\ln2}{2P_{0}V_{0}/(nR)} =-nR\ln2.

Passo 6

Somando as três etapas:
\Delta U_{\text{ciclo}}=3P_{0}V_{0}-3P_{0}V_{0}+0=0,
W_{\text{ciclo}}=2P_{0}V_{0}+0-2P_{0}V_{0}\ln2 =2P_{0}V_{0}(1-\ln2),
Q_{\text{ciclo}}=\Delta U+W=2P_{0}V_{0}(1-\ln2),
\Delta S_{\text{ciclo}} =\frac{5}{2}nR\ln2-\frac{3}{2}nR\ln2 -nR\ln2=0.

Resposta

Processo \Delta U Q W \Delta S
A\to B (isobárico) 3P_{0}V_{0} 5P_{0}V_{0} 2P_{0}V_{0} \tfrac{5}{2}nR\ln2
B\to C (isocórico) -3P_{0}V_{0} -3P_{0}V_{0} 0 -\tfrac{3}{2}nR\ln2
C\to A (isotérmico) 0 -2P_{0}V_{0}\ln2 -2P_{0}V_{0}\ln2 -nR\ln2
Ciclo total 0 2P_{0}V_{0}(1-\ln2) 2P_{0}V_{0}(1-\ln2) 0

Exercícios relacionados