Um gás quente a 176,7^{\circ} \mathrm{C}, escoa através de um tubo liso de aço-carbono de 3 polegadas de diâmetro interno e 1 / 8 de polegada de espessura. Ao redor do tubo encontra-se ar a 26,7^{\circ} \mathrm{C}. Um isolamento composto que consiste de uma camada de 1 polegada de magnésia a 85 \% ( \mathrm{k}_{\text {magnésia }}= 0,048 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C}é ) e uma camada de 1 polegada de manta isolante com \mathrm{k}_{\text {manta }}=0,067 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} deve ser aplicado. Que isolamento você aplicaria próximo ao tubo para obter a taxa de transferência de calor mínima através do tubo? Determine a taxa de transferência de calor por m de comprimento do tubo e a temperatura da superfície externa de isolamento em contato com o ar para o isolamento escolhido. O coeficiente de transferência de calor por convecção do lado do gás quente é 435 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C} e do lado do ar é 4,36 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C} .\left(\mathbf{R} . \dot{\boldsymbol{q}} / \boldsymbol{L}=\mathbf{5 4 , 2 9 ~ W} / \mathbf{m} ; \mathbf{T s e}=\mathbf{4 8 , 2 2}{ }^{\circ} \mathbf{C}\right)

Passo 1

O enunciado pede a taxa de transferência de calor por metro de tubo e a temperatura da superfície externa do isolamento, além de indicar qual material (magnésia ou manta) deve ficar junto ao tubo para minimizar essa taxa. O conteúdo envolvido é o de resistências térmicas em série (convecção interna, condução em camadas cilíndricas e convecção externa).

Passo 2

Definimos as resistências térmicas por metro de comprimento L=1\\ \mathrm m.
O tubo interno tem diâmetro D_i=3''=0{,}0762\\ \mathrm m e espessura t_p=1/8''=0{,}003175\\ \mathrm m, logo
r_i = \frac{D_i}{2}=0{,}0381\\ \mathrm m,\quad r_p = r_i + t_p = 0{,}041275\\ \mathrm m.
Cada camada de isolamento tem espessura e=1''=0{,}0254\\ \mathrm m. Chamamos
r_1 = r_p + e,\quad r_2 = r_1 + e.
Os logaritmos são
\ln\frac{r_1}{r_p} = 0{,}4804,\quad \ln\frac{r_2}{r_1} = 0{,}3220.
Para cada ordem de camadas calculamos a soma das resistências de condução:
– Se a magnésia k_{\rm mag}=0{,}048 ficar interna e a manta k_{\rm mant}=0{,}067 externa,
R_{\rm cond} = \frac{0{,}4804}{2\pi\,k_{\rm mag}} + \frac{0{,}3220}{2\pi\,k_{\rm mant}} =2{,}358\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
– Se invertermos, obtém-se
R_{\rm cond}' = \frac{0{,}4804}{2\pi\,k_{\rm mant}} + \frac{0{,}3220}{2\pi\,k_{\rm mag}} =2{,}208\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
Como R_{\rm cond} é maior com a magnésia interna, essa disposição dá menor fluxo de calor.

Passo 3

Agora somamos todas as resistências (por metro):
– Convecção interna:
R_{ci} = \frac{1}{h_i\,2\pi r_i L} = \frac{1}{435\cdot2\pi\cdot0{,}0381\cdot1} =0{,}0096\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
– Condução (com magnésia interna): R_{\rm cond}=2{,}358\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
– Convecção externa (raio externo r_2):
R_{co} = \frac{1}{h_o\,2\pi r_2 L} = \frac{1}{4{,}36\cdot2\pi\cdot0{,}092075\cdot1} =0{,}3965\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.
Total:
R_{tot} = R_{ci} + R_{\rm cond} + R_{co} = 0{,}0096 + 2{,}358 + 0{,}3965 = 2{,}764\\ \mathrm{K\,W^{-1}}.

Passo 4

Taxa de calor por metro:
\dot q/L = \frac{T_{\rm gás} - T_{\rm ar}}{R_{tot}} = \frac{176{,}7 - 26{,}7}{2{,}764} =54{,}29\\ \mathrm{W/m}.á

Passo 5

Temperatura da superfície externa do isolamento:
T_{se} = T_{\rm ar} + \dot q/L \times R_{co} =26{,}7 + 54{,}29\times0{,}3965 =48{,}22\\ ^\circ\mathrm C.

Resposta

A magnésia deve ficar junto ao tubo. \dot q/L = 54{,}29\\ \mathrm{W/m}
Temperatura da superfície externa do isolamento: 48{,}22^\circ\mathrm C

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