Um termopar é usado como elemento sensor em uma unidade de controle de temperatura. A unidade é ajustada para ter ação corretiva se a temperatura do fluido for maior ou igual a 150^{\circ} \mathrm{C}. A temperatura normal de operação é de 100^{\circ} \mathrm{C}. Se a temperatura do fluido se alterar instantaneamente para 200^{\circ} \mathrm{C}, qual o tempo necessário para que o termopar “perceba” que a unidade de controle precisa agir corretivamente se o coeficiente convectivo é h=500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}, \mathrm{k} =23 \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K}, \rho=8920 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e \mathrm{C}=384 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ? O diâmetro do termopar é 0,5 \mathrm{~mm} .(\mathbf{R}: \mathbf{0 , 3 9 6 ~ s}).

Passo 1

O enunciado descreve um salto instantâneo da temperatura do fluido de 100\,^{\circ}\mathrm{C} para 200\,^{\circ}\mathrm{C}. O termopar tem diâmetro D=0{,}5\;\mathrm{mm} e reage como um corpo de calor de pequena inércia térmica. Queremos o tempo para que o sensor alcance 150\,^{\circ}\mathrm{C}, ponto em que a unidade de controle age. O conteúdo é o modelo de capacitância concentrada (lumped capacitance) em regime transiente de condução com convecção externa.

Passo 2

Verificamos se vale o modelo lumped calculando o número de Biot:\r
L_c=\frac{V}{A} =\frac{\tfrac{4}{3}\pi R^3}{4\pi R^2} =\frac{R}{3},
com
R=\frac{D}{2}=0{,}25\times10^{-3}\,\mathrm{m}, \quad L_c=\frac{0{,}25\times10^{-3}}{3}=0{,}0833\times10^{-3}\,\mathrm{m}.
Então
\mathrm{Bi}=\frac{h\,L_c}{k} =\frac{500\times0{,}0833\times10^{-3}}{23} \approx1{,}8\times10^{-3}\ll0{,}1.
Como \mathrm{Bi}\ll0{,}1, o sensor pode ser tratado pelo modelo lumped.

Passo 3

O tempo característico do sensor é
\tau=\frac{\rho\,c\,L_c}{h}.
Substituindo os valores:
\tau =\frac{8920\;\mathrm{kg/m^3}\times384\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}\times0{,}0833\times10^{-3}\,\mathrm{m}}{500\;\mathrm{W/(m^2\cdot K)}} \approx0{,}571\;\mathrm{s}.

Passo 4

No modelo lumped, a temperatura do sensor em função do tempo é
T(t)=T_\infty+(T_i-T_\infty)\exp\Bigl(-\frac{t}{\tau}\Bigr),
onde T_i=100\,^{\circ}\mathrm{C} e T_\infty=200\,^{\circ}\mathrm{C}. Para T(t)=150\,^{\circ}\mathrm{C}:
150=200-100\exp\!\Bigl(-\frac{t}{\tau}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \exp\!\Bigl(-\frac{t}{\tau}\Bigr)=0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad t=-\tau\ln(0{,}5)=\tau\ln2.
Logo,
t=0{,}571\times0{,}693\approx0{,}396\;\mathrm{s}.

Resposta

0{,}396\;\mathrm{s}

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