Laura e Telma retiram cada uma um bilhete numerado de uma urna que contém bilhetes numerados de 1 a 100 . Determine a probabilidade do número de Laura ser maior que o de Telma, supondo a extração:
a) sem reposição.
b) com reposição.
a) sem reposição.
b) com reposição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a probabilidade de que o número sorteado por Laura seja maior do que o de Telma, num universo de bilhetes numerados de 1 a 100, em dois cenários: sem reposição (cada bilhete só sai uma vez) e com reposição (o bilhete volta à urna antes do segundo sorteio). Vamos usar princípio de contagem e noções básicas de probabilidade igualitária.
Passo 2
Primeiro consideramos o caso sem reposição. Aqui os dois bilhetes serão necessariamente diferentes. O número total de pares ordenados possíveis é 100·99 (Laura pode tirar qualquer um dos 100, depois Telma qualquer um dos 99 restantes). Isso dá
.
Para contar os casos favoráveis (Laura > Telma), note que, se Laura tirou o valor (de 2 a 100), Telma pode ter tirado qualquer valor de 1 a
, totalizando
opções. Então
Para contar os casos favoráveis (Laura > Telma), note que, se Laura tirou o valor
Logo a probabilidade é
Passo 3
Agora o caso com reposição. Neste cenário os dois sorteios são independentes e podem coincidir. O total de pares ordenados é 100·100 = 10000. Para contar os favoráveis (Laura > Telma), basta ver que continuam existindo
pares
com
, pois esse é o número de pares distintos ordenados onde o primeiro é maior que o segundo. Então
Passo 4
Usamos simetria e contagem direta para concluir que, sem reposição, a probabilidade é
, e com reposição cai ligeiramente para
, já que agora pares iguais aparecem e não contam como favoráveis.
Resposta
a)
b)