Laura e Telma retiram cada uma um bilhete numerado de uma urna que contém bilhetes numerados de 1 a 100 . Determine a probabilidade do número de Laura ser maior que o de Telma, supondo a extração:
a) sem reposição.
b) com reposição.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a probabilidade de que o número sorteado por Laura seja maior do que o de Telma, num universo de bilhetes numerados de 1 a 100, em dois cenários: sem reposição (cada bilhete só sai uma vez) e com reposição (o bilhete volta à urna antes do segundo sorteio). Vamos usar princípio de contagem e noções básicas de probabilidade igualitária.

Passo 2

Primeiro consideramos o caso sem reposição. Aqui os dois bilhetes serão necessariamente diferentes. O número total de pares ordenados possíveis é 100·99 (Laura pode tirar qualquer um dos 100, depois Telma qualquer um dos 99 restantes). Isso dá
Ntotal=100times99=9900.
Para contar os casos favoráveis (Laura > Telma), note que, se Laura tirou o valor i (de 2 a 100), Telma pode ter tirado qualquer valor de 1 a i-1, totalizando i-1 opções. Então
Nfav= sumi=2^100(i-1) =1+2+dots+99 =99times1002 =4950
Logo a probabilidade é
Psem;reposi=49509900=12

Passo 3

Agora o caso com reposição. Neste cenário os dois sorteios são independentes e podem coincidir. O total de pares ordenados é 100·100 = 10000. Para contar os favoráveis (Laura > Telma), basta ver que continuam existindo 4950 pares (i,j) com i>j, pois esse é o número de pares distintos ordenados onde o primeiro é maior que o segundo. Então
Pcom;reposi=495010000= 99200

Passo 4

Usamos simetria e contagem direta para concluir que, sem reposição, a probabilidade é 1/2, e com reposição cai ligeiramente para 99/200, já que agora pares iguais aparecem e não contam como favoráveis.

Resposta

a) tfrac12
b) tfrac99200

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