Generalizando as ideias dos problemas 15 e 16, suponha que e sejam três números reais distintos. Para quaisquer números reais e , queremos mostrar que existe uma única parábola, com equação da forma , que passa pelos pontos e . Faça isso demonstrando que a matriz dos coeficientes do sistema de equações lineares associado tem o determinante
o qual é necessariamente não nulo. (Por quê?)
Passo 1
O enunciado diz que dado quaisquer reais b1,b2,b3 e três abscissas distintas a1,a2,a3, queremos determinar coeficientes a,b,c tais que a parábola
y = a + b x + c x^2
passe por (ai,bi) para i=1,2,3. O conteúdo chave é resolver um sistema linear de ordem 3 cujo coeficiente é a matriz de Vandermonde, e mostrar que seu determinante é não nulo.
Passo 2
Para cada ponto a condição “pertence à parábola” gera
Em forma matricial, isso é
A existência e unicidade de decorre de o determinante dessa matriz ser não nulo.
Passo 3
Chamemos
V = 1 & a1 & a1^2 1 & a2 & a2^2 1 & a3 & a3^2
Usamos operações de linha: L2 L2-L1 e L3 L3-L1. Isso não muda o determinante e leva a