Generalizando as ideias dos problemas 15 e 16, suponha que a1, a2 e a3 sejam três números reais distintos. Para quaisquer números reais b1, b2 e b3, queremos mostrar que existe uma única parábola, com equação da forma y=a+b x+c x^2, que passa pelos pontos (a1, b1),(a2, b2) e (a3, b3). Faça isso demonstrando que a matriz dos coeficientes do sistema de equações lineares associado tem o determinante
|lll 1 & a1 & a1^2 1 & a2 & a2^2 1 & a3 & a3^2 |=(a2-a1)(a3-a1)(a3-a2)
o qual é necessariamente não nulo. (Por quê?)

Passo 1

O enunciado diz que dado quaisquer reais b1,b2,b3 e três abscissas distintas a1,a2,a3, queremos determinar coeficientes a,b,c tais que a parábola
y = a + b x + c x^2
passe por (ai,bi) para i=1,2,3. O conteúdo chave é resolver um sistema linear de ordem 3 cujo coeficiente é a matriz de Vandermonde, e mostrar que seu determinante é não nulo.

Passo 2

Para cada ponto a condição “pertence à parábola” gera
Em forma matricial, isso é
A existência e unicidade de decorre de o determinante dessa matriz ser não nulo.

Passo 3

Chamemos
V = 1 & a1 & a1^2 1 & a2 & a2^2 1 & a3 & a3^2
Usamos operações de linha: L2 L2-L1 e L3 L3-L1. Isso não muda o determinante e leva a
det(V) = 1 & a1 & a1^2 0 & a2-a1 & a2^2-a1^2 0 & a3-a1 & a3^2-a1^2
Expandindo pela primeira coluna:
det(V) = 1cdot a2-a1 & a2^2-a1^2 a3-a1 & a3^2-a1^2

Passo 4

Note que ai^2-a1^2=(ai-a1)(ai+a1). Assim o 2times2 é
a2-a1 & (a2-a1)(a2+a1) a3-a1 & (a3-a1)(a3+a1) = (a2-a1)(a3-a1) l((a3+a1)-(a2+a1)r)
= (a2-a1)(a3-a1)(a3-a2)
Logo
det(V)=(a2-a1)(a3-a1)(a3-a2)

Passo 5

Como a1,a2,a3 são distintos, cada fator (aj-ai) é não nulo. Portanto
det(V)neq 0
Isto garante existência e unicidade da solução (a,b,c), ou seja, existe uma única parábola que passa pelos três pontos dados.

Resposta

det 1 & a1 & a1^2 1 & a2 & a2^2 1 & a3 & a3^2 =(a2-a1)(a3-a1)(a3-a2)neq 0,
logo há uma única parábola que passa por l(a1,b1r), l(a2,b2r) e l(a3,b3r).

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