Prove que o volume de TA(P) é dado por |det A| (volume de P ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um conjunto mensurável PsubsetR^n e a transformação linear TA(x)=A x, vale
voll(TA(P)r)=l|det Ar|;vol(P)
O conteúdo usado será a definição de volume de um conjunto como integral de 1 e o Teorema da Mudança de Variáveis em integrais múltiplas.

Passo 2

Por definição de volume temos
voll(TA(P)r)=integralTA(P)1,dx
Como TA é linear e diferenciável em todo R^n, seu Jacobiano é a matriz D(TA)(y)=A, cujo determinante é constante e igual a det A.

Passo 3

Aplicando o Teorema da Mudança de Variáveis com a substituição x=TA(y)=A y e função integranda igual a 1, obtemos
integralTA(P)1,dx =integralP1;l|det D(TA)(y)r|,dy =integralPl|det Ar|,dy

Passo 4

Como l|det Ar| é constante, sai da integral e dá
voll(TA(P)r) =l|det Ar|integralP1,dy =l|det Ar|;vol(P)

Resposta

voll(TA(P)r)=l|det Ar|;vol(P)

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