Prove que o volume de
é dado por
(volume de
).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um conjunto mensurável
e a transformação linear
, vale
O conteúdo usado será a definição de volume de um conjunto como integral de 1 e o Teorema da Mudança de Variáveis em integrais múltiplas.
Passo 2
Por definição de volume temos
Como
TA é linear e diferenciável em todo
R^n , seu Jacobiano é a matriz
D(TA)(y)=A , cujo determinante é constante e igual a
det A .
Passo 3
Aplicando o Teorema da Mudança de Variáveis com a substituição
x=TA(y)=A y e função integranda igual a 1, obtemos
Passo 4
Como
l|det Ar| é constante, sai da integral e dá