Generalize o problema anterior considerando C o capital aplicado, i a taxa de rendimento por período, n o número de períodos e M o montante resgatado após n períodos.

Passo 1

O enunciado pede para generalizar o cálculo de juros compostos em que C é o capital inicial, i é a taxa de juros por período, n é o número de períodos e M é o montante acumulado após n períodos. Vamos precisar do conceito de progressão geométrica e da definição de juros compostos, segundo a qual a cada período incide a taxa i sobre o saldo do período anterior.

Passo 2

Definimos Mk como o montante após k períodos. Pela regra de juros compostos, a cada novo período o saldo cresce multiplicado por (1+i). Assim temos a relação de recorrência:
Mk = Mk-1,(1+i),
com condição inicial M0 = C.

Passo 3

Para resolver a recorrência, observamos que
M1 = C,(1+i), M2 = M1,(1+i)=C,(1+i)^2, ldots, Mn = C,(1+i)^n
Isso segue por indução ou pela propriedade de que o produto sucessivo de n fatores iguais a (1+i) é (1+i)^n.

Resposta

M = C,(1 + i)^n

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