Um gerador de sinais foi configurado para gerar uma onda quadrada com amplitude de 4 volts e frequência de 500 kHz , sendo conectado a um dos canais do osciloscópio. Foi proposta a seguinte montagem para estudar a constante de tempo. Observando no osciloscópio, os alunos obtiveram duas medidas:
& t1=22.5 ms ; V1=1.3 V & t2=25.8 ms ; V2=1.1 V
Use a fórmula que você deduziu no item © e calcule a constante de tempo no circuito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um gerador de sinal configurado para gerar uma onda quadrada com amplitude de 4 volts e frequência de 500 kHz. Essa onda está conectada ao osciloscópio, e vocês fizeram duas medições no tempo e na tensão:
& t1=22.5 ms ; V1=1.3 V & t2=25.8 ms ; V2=1.1 V
O objetivo é calcular a constante de tempo ( tau) do circuito. Para isso, vamos precisar entender como a constante de tempo funciona em um circuito RC (resistor-capacitor) e usar as medições que vocês obtiveram para encontrar o valor de tau.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada rápida no que é a constante de tempo ( tau) em um circuito RC. A constante de tempo é uma medida de quanto tempo leva para a tensão no capacitor atingir aproximadamente 63,2% do seu valor final durante o carregamento, ou decair para cerca de 36,8% durante o descarregamento. A fórmula para a constante de tempo é:
tau = R times C
Onde:
  • R é a resistência em ohms ( Omega)
  • C é a capacitância em farads (F)

Passo 3

Como vocês estão observando uma onda quadrada no osciloscópio, o capacitor está passando por ciclos de carregamento e descarregamento. As medidas que vocês fizeram ( t1, V1 e t2, V2) correspondem a pontos específicos no gráfico de tensão versus tempo que nos ajudam a determinar a constante de tempo.
Vamos considerar que:
  • t1 e V1 correspondem a um ponto durante o carregamento do capacitor.
  • t2 e V2 correspondem a um ponto durante o descarregamento do capacitor.

Passo 4

Durante o carregamento, a tensão no capacitor é dada por:
V(t) = Vmáx (1 - e^-t/tau) á
E durante o descarregamento:
V(t) = Vmáx , e^-t/tau á
Onde Vmáxá é a amplitude da onda quadrada, que é 4 V no seu caso.

Passo 5

Vamos usar as duas medições para criar duas equações com a variável tau.
Para o carregamento:
1.3 = 4 (1 - e^-22.5 times 10^-3/tau)
Para o descarregamento:
1.1 = 4 , e^-25.8 times 10^-3/tau

Passo 6

Vamos resolver cada equação para e^-t/tau.
Para o carregamento:
1.34 = 1 - e^-22.5 times 10^-3/tau e^-22.5 times 10^-3/tau = 1 - 1.34 e^-22.5 times 10^-3/tau = 0.675
Para o descarregamento:
1.14 = e^-25.8 times 10^-3/tau e^-25.8 times 10^-3/tau = 0.275

Passo 7

Agora, vamos tirar o logaritmo natural de ambos os lados para resolver para tau.
Para o carregamento:
- 22.5 times 10^-3tau = ln(0.675) tau = - 22.5 times 10^-3ln(0.675)
Para o descarregamento:
- 25.8 times 10^-3tau = ln(0.275) tau = - 25.8 times 10^-3ln(0.275)

Passo 8

Vamos calcular tau para cada caso usando uma calculadora.
Para o carregamento:
tau = - 0.0225ln(0.675) approx - 0.0225-0.392 approx 0.0225 / 0.392 approx 0.0573 s (57.3 ms)
Para o descarregamento:
tau = - 0.0258ln(0.275) approx - 0.0258-1.291 approx 0.0258 / 1.291 approx 0.0200 s (20.0 ms)

Resposta

A constante de tempo ( tau) do circuito é aproximadamente 57,3 ms durante o carregamento e 20,0 ms durante o descarregamento.

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