Em geral, experimentos afirmam que a percentagem de frutos atacados por larvas de mariposa é maior em macieiras anãs. Aparentemente, a densidade de mariposas não tem relação com o tamanho do pomar ou porte da planta, de modo que os riscos de ataque em um fruto em particular seriam aumentados quando o número de frutos ou plantas for pequeno. Os dados abaixo se referem aos resultados de um experimento contendo evidências sobre esse fenômeno.
a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson, interprete e teste sua significância.
b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.
a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson, interprete e teste sua significância.
b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.
Plantas | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Tamanho da colheita (centenas de frutos) | 8 | 6 | 11 | 22 | 14 | 17 | 18 | 24 | 19 | 23 | 26 | 40 |
Percentagem de frutos atacados | 59 | 58 | 56 | 53 | 50 | 45 | 43 | 42 | 39 | 38 | 30 | 27 |
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um experimento que estudou a relação entre o tamanho da colheita (quantos frutos) e a porcentagem de frutos atacados por larvas de mariposa em diferentes plantas. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente o coeficiente de correlação de Pearson e o modelo de regressão linear simples. Para resolver isso, precisamos entender como medir a força da relação entre duas variáveis e como prever uma variável com base na outra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o coeficiente de correlação de Pearson. Esse coeficiente, geralmente representado por $ r $, nos diz o quanto duas variáveis estão relacionadas de forma linear. Ele varia entre -1 e 1. Se $ r $ for próximo de 1, há uma forte correlação positiva; se for próximo de -1, uma forte correlação negativa; e se for próximo de 0, pouca ou nenhuma correlação.
Passo 3
Para calcular $ r $, usamos a fórmula:
Onde:
- $ n $ é o número de pares de dados.
- $ x $ é o tamanho da colheita.
- $ y $ é a percentagem de frutos atacados.
Vamos primeiro somar todos os valores de $ x $, $ y $, $ xy $, $ x^2 $ e $ y^2 $.
Passo 4
Calculando as somas:
Passo 5
Agora, substituímos esses valores na fórmula de $ r $:
Vamos calcular cada parte:
Substituindo:
Calculando o denominador:
Então:
Passo 6
Interpretando $ r = 0.498 $: Há uma correlação moderada positiva entre o tamanho da colheita e a percentagem de frutos atacados. Isso sugere que, conforme a colheita aumenta, a percentagem de frutos atacados tende a aumentar também.
Passo 7
Agora, vamos testar a significância dessa correlação. Usamos o teste t para isso, onde a hipótese nula $ H_0 $ é que $ r = 0 $ (sem correlação) e a hipótese alternativa $ H_A $ é que $ r \neq 0 $.
A estatística de teste é:
Com $ n = 12 $:
Passo 8
Consultando a tabela t de Student para $ df = 10 $ (graus de liberdade) e um nível de significância comum de 5%, o valor crítico de $ t $ é aproximadamente 2.228 para um teste bicaudal.
Como $ 1.814 < 2.228 $, não rejeitamos a hipótese nula. Ou seja, a correlação observada não é estatisticamente significativa ao nível de 5%.
Passo 9
Agora, vamos para a parte b: ajustar o modelo de regressão linear simples. A regressão linear simples tem a forma:
onde:
- $ y $ é a variável dependente (percentagem de frutos atacados),
- $ x $ é a variável independente (tamanho da colheita),
- $ b $ é o coeficiente angular,
- $ a $ é o coeficiente linear (intercepto).
Passo 10
Para encontrar $ b $ e $ a $, usamos as fórmulas:
Já temos todas as somas calculadas anteriormente.
Calculando $ b $:
Calculando $ a $:
Passo 11
Portanto, o modelo de regressão ajustado é:
Passo 12
Vamos interpretar esse modelo. O intercepto $ a = 30.67 $ representa a percentagem de frutos atacados quando o tamanho da colheita é zero. Claro que, na prática, não temos colheitas de tamanho zero, mas é um valor necessário para a equação.
O coeficiente $ b = 0.58 $ indica que, para cada aumento de uma centena de frutos na colheita, a percentagem de frutos atacados aumenta, em média, 0.58 pontos percentuais.
Passo 13
Para testar a significância do modelo, verificamos se o coeficiente $ b $ é significativamente diferente de zero. Usamos novamente o teste t:
Onde $ SE_b $ é o erro padrão de $ b $. O cálculo completo envolve mais etapas, mas, de forma simplificada, observamos que o $ r $ não foi significativo, o que sugere que o modelo também pode não ser significativo.
Resposta
a) O coeficiente de correlação de Pearson é aproximadamente $ r = 0.498 $, indicando uma correlação moderada positiva entre o tamanho da colheita e a percentagem de frutos atacados. No entanto, esse coeficiente não é estatisticamente significativo ao nível de 5%, ou seja, não há evidências suficientes para afirmar que existe uma correlação real entre as variáveis.
b) O modelo de regressão linear ajustado é $ y \approx 30.67 + 0.58 x $. Isso significa que, em média, a percentagem de frutos atacados aumenta 0.58% para cada centena de frutos adicionais na colheita. Contudo, dado que a correlação não foi significativa, devemos ser cautelosos ao interpretar esse modelo como representativo da relação real entre as variáveis.