Em geral, experimentos afirmam que a percentagem de frutos atacados por larvas de mariposa é maior em macieiras anãs. Aparentemente, a densidade de mariposas não tem relação com o tamanho do pomar ou porte da planta, de modo que os riscos de ataque em um fruto em particular seriam aumentados quando o número de frutos ou plantas for pequeno. Os dados abaixo se referem aos resultados de um experimento contendo evidências sobre esse fenômeno.
a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson, interprete e teste sua significância.
b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.
Plantas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Tamanho da colheita (centenas de frutos) 8 6 11 22 14 17 18 24 19 23 26 40
Percentagem de frutos atacados 59 58 56 53 50 45 43 42 39 38 30 27

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um experimento que estudou a relação entre o tamanho da colheita (quantos frutos) e a porcentagem de frutos atacados por larvas de mariposa em diferentes plantas. A matéria que vamos usar aqui é Estatística, mais especificamente o coeficiente de correlação de Pearson e o modelo de regressão linear simples. Para resolver isso, precisamos entender como medir a força da relação entre duas variáveis e como prever uma variável com base na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o coeficiente de correlação de Pearson. Esse coeficiente, geralmente representado por $ r $, nos diz o quanto duas variáveis estão relacionadas de forma linear. Ele varia entre -1 e 1. Se $ r $ for próximo de 1, há uma forte correlação positiva; se for próximo de -1, uma forte correlação negativa; e se for próximo de 0, pouca ou nenhuma correlação.

Passo 3

Para calcular $ r $, usamos a fórmula:
r
Onde:
  • $ n $ é o número de pares de dados.
  • $ x $ é o tamanho da colheita.
  • $ y $ é a percentagem de frutos atacados.
Vamos primeiro somar todos os valores de $ x $, $ y $, $ xy $, $ x^2 $ e $ y^2 $.

Passo 4

Calculando as somas:
sum x &= 8 + 6 + 11 + 22 + 14 + 17 + 18 + 24 + 19 + 23 + 26 + 40 = 208 sum y &= 59 + 58 + 56 + 53 + 50 + 45 + 43 + 42 + 39 + 38 + 30 + 27 = 489 sum xy &= (8 times 59) + (6 times 58) + dots + (40 times 27) = 8 times 59 + 6 times 58 + 11 times 56 + 22 times 53 + 14 times 50 + 17 times 45 + 18 times 43 + 24 times 42 + 19 times 39 + 23 times 38 + 26 times 30 + 40 times 27 &= 472 + 348 + 616 + 1166 + 700 + 765 + 774 + 1008 + 741 + 874 + 780 + 1080 = 9683 sum x^2 &= 8^2 + 6^2 + 11^2 + 22^2 + 14^2 + 17^2 + 18^2 + 24^2 + 19^2 + 23^2 + 26^2 + 40^2 &= 64 + 36 + 121 + 484 + 196 + 289 + 324 + 576 + 361 + 529 + 676 + 1600 = 5680 sum y^2 &= 59^2 + 58^2 + 56^2 + 53^2 + 50^2 + 45^2 + 43^2 + 42^2 + 39^2 + 38^2 + 30^2 + 27^2 &= 3481 + 3364 + 3136 + 2809 + 2500 + 2025 + 1849 + 1764 + 1521 + 1444 + 900 + 729 = 22762

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula de $ r $:
r
Vamos calcular cada parte:
r = 12 times 9683 - 208 times 489raiz[12 times 5680 - 208^2][12 times 22762 - 489^2]
Substituindo:
12 times 9683 &= 116196 208 times 489 &= 101, ? Wait, 208 × 489: 200×489=97,800 and 8×489=3,912 → total = 97,800 + 3,912 = 101,712 12 times 5680 &= 68,160 208^2 &= 43,264 12 times 22762 &= 273,144 489^2 &= 239,121
Calculando o denominador:
r = 116,196 - 101,712raiz(68,160 - 43,264)(273,144 - 239,121) = 14,484raiz24,896 times 34,023
24,896 times 34,023 = 846,398,208
Então:
raiz846,398,208 approx 29,103

Passo 6

Interpretando $ r = 0.498 $: Há uma correlação moderada positiva entre o tamanho da colheita e a percentagem de frutos atacados. Isso sugere que, conforme a colheita aumenta, a percentagem de frutos atacados tende a aumentar também.

Passo 7

Agora, vamos testar a significância dessa correlação. Usamos o teste t para isso, onde a hipótese nula $ H_0 $ é que $ r = 0 $ (sem correlação) e a hipótese alternativa $ H_A $ é que $ r \neq 0 $.
A estatística de teste é:
H0
Com $ n = 12 $:
r = 0

Passo 8

Consultando a tabela t de Student para $ df = 10 $ (graus de liberdade) e um nível de significância comum de 5%, o valor crítico de $ t $ é aproximadamente 2.228 para um teste bicaudal.
Como $ 1.814 < 2.228 $, não rejeitamos a hipótese nula. Ou seja, a correlação observada não é estatisticamente significativa ao nível de 5%.

Passo 9

Agora, vamos para a parte b: ajustar o modelo de regressão linear simples. A regressão linear simples tem a forma:
y = a + b x
onde:
  • $ y $ é a variável dependente (percentagem de frutos atacados),
  • $ x $ é a variável independente (tamanho da colheita),
  • $ b $ é o coeficiente angular,
  • $ a $ é o coeficiente linear (intercepto).

Passo 10

Para encontrar $ b $ e $ a $, usamos as fórmulas:
b
a
Já temos todas as somas calculadas anteriormente.
Calculando $ b $:
b = n sum xy - sum x sum yn sum x^2 - (sum x)^2
Calculando $ a $:
a = sum y - b sum xn

Passo 11

Portanto, o modelo de regressão ajustado é:
y approx 30.67 + 0.58 x

Passo 12

Vamos interpretar esse modelo. O intercepto $ a = 30.67 $ representa a percentagem de frutos atacados quando o tamanho da colheita é zero. Claro que, na prática, não temos colheitas de tamanho zero, mas é um valor necessário para a equação.
O coeficiente $ b = 0.58 $ indica que, para cada aumento de uma centena de frutos na colheita, a percentagem de frutos atacados aumenta, em média, 0.58 pontos percentuais.

Passo 13

Para testar a significância do modelo, verificamos se o coeficiente $ b $ é significativamente diferente de zero. Usamos novamente o teste t:
b
Onde $ SE_b $ é o erro padrão de $ b $. O cálculo completo envolve mais etapas, mas, de forma simplificada, observamos que o $ r $ não foi significativo, o que sugere que o modelo também pode não ser significativo.

Resposta

a) O coeficiente de correlação de Pearson é aproximadamente $ r = 0.498 $, indicando uma correlação moderada positiva entre o tamanho da colheita e a percentagem de frutos atacados. No entanto, esse coeficiente não é estatisticamente significativo ao nível de 5%, ou seja, não há evidências suficientes para afirmar que existe uma correlação real entre as variáveis.
b) O modelo de regressão linear ajustado é $ y \approx 30.67 + 0.58 x $. Isso significa que, em média, a percentagem de frutos atacados aumenta 0.58% para cada centena de frutos adicionais na colheita. Contudo, dado que a correlação não foi significativa, devemos ser cautelosos ao interpretar esse modelo como representativo da relação real entre as variáveis.

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