Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar se existe associação entre a falta de sono e a capacidade de as pessoas resolverem problemas simples. Foram testadas 10 pessoas, mantendo-se sem dormir por um determinado número de horas. Após cada um destes períodos, cada pessoa teve de resolver um teste com adições simples, anotando-se então os erros cometidos. Os dados resultantes são os seguintes:
Número de erros | 6 | 8 | 6 | 10 | 8 | 14 | 12 | 14 | 12 | 16 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Número de horas sem <br> dormir | 8 | 8 | 12 | 12 | 16 | 16 | 20 | 20 | 24 | 24 |
a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson, interprete e teste sua significância a 5%.
b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.
b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício trata de estatística, especificamente de correlação e regressão linear simples. A ideia é verificar se existe uma relação entre a quantidade de horas sem dormir e o número de erros cometidos em testes de adição simples. Para isso, temos uma tabela com os dados de 10 pessoas, mostrando quantas horas elas ficaram sem dormir e quantos erros cometeram. Nosso objetivo é:
a) Calcular o coeficiente de correlação de Pearson, interpretar esse valor e testar se essa correlação é significativa com um nível de 5%.
b) Ajustar um modelo de regressão linear simples, testar esse modelo e interpretar os resultados.
Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem. Temos duas variáveis:
- $ X $: Número de horas sem dormir
- $ Y $: Número de erros cometidos
Os dados são:
Pessoa | $ X $ (horas sem dormir) | $ Y $ (número de erros) |
---|---|---|
1 | 8 | 6 |
2 | 8 | 8 |
3 | 12 | 6 |
4 | 12 | 10 |
5 | 16 | 8 |
6 | 16 | 14 |
7 | 20 | 12 |
8 | 20 | 14 |
9 | 24 | 12 |
10 | 24 | 16 |
Passo 3
Vamos começar com a parte a): calcular o coeficiente de correlação de Pearson. Esse coeficiente, denotado por $ r $, mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis contínuas.
A fórmula do coeficiente de correlação de Pearson é:
Onde:
- $ n $ é o número de observações
- $ \sum XY $ é a soma dos produtos de $ X $ e $ Y $
- $ \sum X $ e $ \sum Y $ são as somas das observações de $ X $ e $ Y $, respectivamente
- $ \sum X^2 $ e $ \sum Y^2 $ são as somas dos quadrados das observações de $ X $ e $ Y $, respectivamente
Passo 4
Vamos calcular cada parte da fórmula passo a passo. Primeiro, precisamos calcular as seguintes somas:
Vamos calcular cada produto individualmente:
Somando todos esses produtos:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ \sum X^2 $ e $ \sum Y^2 $:
Calculando cada quadrado:
Somando:
Agora, para $ \sum Y^2 $:
Calculando cada quadrado:
Somando:
Passo 6
Agora que temos todas as somas necessárias, podemos substituir na fórmula do coeficiente de correlação de Pearson:
Substituindo os valores:
Então:
Passo 7
Então, o coeficiente de correlação de Pearson é aproximadamente 0,99. Isso indica uma correlação muito forte e positiva entre as horas sem dormir e o número de erros cometidos. Ou seja, quanto mais horas a pessoa fica sem dormir, maior tende a ser o número de erros que ela comete no teste de adição simples.
Passo 8
Agora, vamos testar a significância dessa correlação para ver se ela é estatisticamente significativa ao nível de 5% ($ \alpha = 0,05 $).
Para isso, usamos o teste de hipótese para o coeficiente de correlação de Pearson. As hipóteses são:
- Hipótese Nula ($ H_0 $): Não há correlação linear entre $ X $ e $ Y $ ($ \rho = 0 $).
- Hipótese Alternativa ($ H_1 $): Há correlação linear entre $ X $ e $ Y $ ($ \rho \neq 0 $).
Vamos calcular o valor t associado ao coeficiente de correlação:
Substituindo os valores:
Passo 9
Agora, precisamos comparar esse valor de $ t $ com o valor crítico da distribuição t de Student com $ n - 2 = 8 $ graus de liberdade para um teste bicaudal com $ \alpha = 0,05 $.
Consultando a tabela t, o valor crítico para $ df = 8 $ e $ \alpha/2 = 0,025 $ é aproximadamente 2,306.
Como $ |19,85| > 2,306 $, rejeitamos a hipótese nula.
Passo 10
Rejeitar a hipótese nula significa que há evidências suficientes para afirmar que existe uma correlação linear significativa entre as horas sem dormir e o número de erros cometidos no teste. Ou seja, a correlação de 0,99 observada não é devida ao acaso e é estatisticamente significativa ao nível de 5%.
Resposta
a) O coeficiente de correlação de Pearson é aproximadamente 0,99, indicando uma correlação muito forte e positiva entre as horas sem dormir e o número de erros cometidos. O teste de significância resultou em um valor $ t $ de aproximadamente 19,85, que é maior que o valor crítico de 2,306 para 8 graus de liberdade. Portanto, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que a correlação é estatisticamente significativa ao nível de 5%.