Uma pesquisa foi realizada com o objetivo de verificar se existe associação entre a falta de sono e a capacidade de as pessoas resolverem problemas simples. Foram testadas 10 pessoas, mantendo-se sem dormir por um determinado número de horas. Após cada um destes períodos, cada pessoa teve de resolver um teste com adições simples, anotando-se então os erros cometidos. Os dados resultantes são os seguintes:
Número de erros 6 8 6 10 8 14 12 14 12 16
Número de horas sem <br> dormir 8 8 12 12 16 16 20 20 24 24
a) Calcule o coeficiente de correlação linear de Pearson, interprete e teste sua significância a 5%.
b) Ajuste, teste e interprete o modelo de regressão linear simples.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a gente tem aqui. O exercício trata de estatística, especificamente de correlação e regressão linear simples. A ideia é verificar se existe uma relação entre a quantidade de horas sem dormir e o número de erros cometidos em testes de adição simples. Para isso, temos uma tabela com os dados de 10 pessoas, mostrando quantas horas elas ficaram sem dormir e quantos erros cometeram. Nosso objetivo é:
a) Calcular o coeficiente de correlação de Pearson, interpretar esse valor e testar se essa correlação é significativa com um nível de 5%.
b) Ajustar um modelo de regressão linear simples, testar esse modelo e interpretar os resultados.
Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que a gente tem. Temos duas variáveis:
  • $ X $: Número de horas sem dormir
  • $ Y $: Número de erros cometidos
Os dados são:
Pessoa $ X $ (horas sem dormir) $ Y $ (número de erros)
1 8 6
2 8 8
3 12 6
4 12 10
5 16 8
6 16 14
7 20 12
8 20 14
9 24 12
10 24 16

Passo 3

Vamos começar com a parte a): calcular o coeficiente de correlação de Pearson. Esse coeficiente, denotado por $ r $, mede a força e a direção da relação linear entre duas variáveis contínuas.
A fórmula do coeficiente de correlação de Pearson é:
r
Onde:
  • $ n $ é o número de observações
  • $ \sum XY $ é a soma dos produtos de $ X $ e $ Y $
  • $ \sum X $ e $ \sum Y $ são as somas das observações de $ X $ e $ Y $, respectivamente
  • $ \sum X^2 $ e $ \sum Y^2 $ são as somas dos quadrados das observações de $ X $ e $ Y $, respectivamente

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula passo a passo. Primeiro, precisamos calcular as seguintes somas:
sum X = 8 + 8 + 12 + 12 + 16 + 16 + 20 + 20 + 24 + 24 = 160
sum Y = 6 + 8 + 6 + 10 + 8 + 14 + 12 + 14 + 12 + 16 = 106
sum XY = (8 times 6) + (8 times 8) + (12 times 6) + (12 times 10) + (16 times 8) + (16 times 14) + (20 times 12) + (20 times 14) + (24 times 12) + (24 times 16)
Vamos calcular cada produto individualmente:
8 times 6 = 48 8 times 8 = 64 12 times 6 = 72 12 times 10 = 120 16 times 8 = 128 16 times 14 = 224 20 times 12 = 240 20 times 14 = 280 24 times 12 = 288 24 times 16 = 384
Somando todos esses produtos:
sum XY = 48 + 64 + 72 + 120 + 128 + 224 + 240 + 280 + 288 + 384 = 1856

Passo 5

Agora, vamos calcular $ \sum X^2 $ e $ \sum Y^2 $:
sum X^2
Calculando cada quadrado:
sum Y^2
Somando:
sum X^2 = 8^2 + 8^2 + 12^2 + 12^2 + 16^2 + 16^2 + 20^2 + 20^2 + 24^2 + 24^2
Agora, para $ \sum Y^2 $:
8^2 = 64 8^2 = 64 12^2 = 144 12^2 = 144 16^2 = 256 16^2 = 256 20^2 = 400 20^2 = 400 24^2 = 576 24^2 = 576
Calculando cada quadrado:
sum X^2 = 64 + 64 + 144 + 144 + 256 + 256 + 400 + 400 + 576 + 576 = 2784
Somando:
sum Y^2

Passo 6

Agora que temos todas as somas necessárias, podemos substituir na fórmula do coeficiente de correlação de Pearson:
r = n sum XY - (sum X)(sum Y)raiz[n sum X^2 - (sum X)^2][n sum Y^2 - (sum Y)^2]
Substituindo os valores:
n = 10 sum X = 160 sum Y = 106 sum XY = 1856 sum X^2 = 2784 sum Y^2 = 1240
Então:
r = 10 times 1856 - 160 times 106raiz[10 times 2784 - 160^2][10 times 1240 - 106^2] r = 18560 - 16960raiz[27840 - 25600][12400 - 11236] r = 1600raiz[2240][1164] r = 1600raiz2607360 r = 16001614.44 r approx 0.99

Passo 7

Então, o coeficiente de correlação de Pearson é aproximadamente 0,99. Isso indica uma correlação muito forte e positiva entre as horas sem dormir e o número de erros cometidos. Ou seja, quanto mais horas a pessoa fica sem dormir, maior tende a ser o número de erros que ela comete no teste de adição simples.

Passo 8

Agora, vamos testar a significância dessa correlação para ver se ela é estatisticamente significativa ao nível de 5% ($ \alpha = 0,05 $).
Para isso, usamos o teste de hipótese para o coeficiente de correlação de Pearson. As hipóteses são:
  • Hipótese Nula ($ H_0 $): Não há correlação linear entre $ X $ e $ Y $ ($ \rho = 0 $).
  • Hipótese Alternativa ($ H_1 $): Há correlação linear entre $ X $ e $ Y $ ($ \rho \neq 0 $).
Vamos calcular o valor t associado ao coeficiente de correlação:
alpha = 0,05
Substituindo os valores:
H0

Passo 9

Agora, precisamos comparar esse valor de $ t $ com o valor crítico da distribuição t de Student com $ n - 2 = 8 $ graus de liberdade para um teste bicaudal com $ \alpha = 0,05 $.
Consultando a tabela t, o valor crítico para $ df = 8 $ e $ \alpha/2 = 0,025 $ é aproximadamente 2,306.
Como $ |19,85| > 2,306 $, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 10

Rejeitar a hipótese nula significa que há evidências suficientes para afirmar que existe uma correlação linear significativa entre as horas sem dormir e o número de erros cometidos no teste. Ou seja, a correlação de 0,99 observada não é devida ao acaso e é estatisticamente significativa ao nível de 5%.

Resposta

a) O coeficiente de correlação de Pearson é aproximadamente 0,99, indicando uma correlação muito forte e positiva entre as horas sem dormir e o número de erros cometidos. O teste de significância resultou em um valor $ t $ de aproximadamente 19,85, que é maior que o valor crítico de 2,306 para 8 graus de liberdade. Portanto, rejeitamos a hipótese nula e concluímos que a correlação é estatisticamente significativa ao nível de 5%.

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