Um gerente afirma que o processo sob seu controle é executado em média 3,5 minutos, com um desvio padrão de 1 minuto. Foram observados aleatoriamente 51 processos, com os seguintes valores: sumi=1^51 xi=200, 1, e sumi=1^51(xi-barx)^2=763,48.
(a) Pronuncie-se a favor ou contra da afirmação do gerente relativo ao tempo médio do processo, ao nível de significância de 5 %.
(b) Resolva o item acima, supondo que a variância populacional é desconhecida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma questão sobre estatística inferencial, especificamente sobre teste de hipóteses para a média de um processo. O gerente diz que o tempo médio do processo é de 3,5 minutos com um desvio padrão de 1 minuto. Queremos verificar se essa afirmação é verdadeira ou não, usando uma amostra de 51 processos. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o erro padrão e usar o teste adequado (Z ou t) dependendo de se conhecemos ou não a variância populacional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra ( barx). Sabemos que a soma dos tempos observados é 200 minutos e foram observados 51 processos. Então:
barx = sumi=1^51 xi51 = 20051 approx 3,92 minutos

Passo 3

Agora, vamos definir as hipóteses para o teste. A afirmação do gerente é que o tempo médio é 3,5 minutos. Então:
  • Hipótese nula ( H0): mu = 3,5 minutos
  • Hipótese alternativa ( Ha): mu neq 3,5 minutos
Estamos fazendo um teste bilateral porque queremos saber se a média é diferente, seja maior ou menor que 3,5 minutos.

Passo 4

Como no item (a) a variância populacional é conhecida ( sigma = 1 minuto), vamos usar o teste Z. O próximo passo é calcular o erro padrão da média ( SE):
SE = sigmaraizn = 1raiz51 approx 0,14

Passo 5

Agora, calculamos o estatístico de teste Z:
Z = barx - mu0SE = 3,92 - 3,50,14 approx 0,420,14 approx 3,00

Passo 6

Vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 5%. Como é um teste bilateral, dividimos o nível de significância por 2 para cada cauda:
alpha = 0,05 Rightarrow alpha/2 = 0,025
Consultando a tabela Z, o valor crítico para 0,025 em cada cauda é aproximadamente 1,96.

Passo 7

Comparamos o valor absoluto do nosso estatístico de teste com o valor crítico:
|Z| = 3,00 > 1,96
Como 3,00 é maior que 1,96, rejeitamos a hipótese nula.

Passo 8

Agora, no item (b), a variância populacional é desconhecida. Então, em vez do teste Z, vamos usar o teste t. Primeiro, calculamos a variância amostral ( s^2):
s^2 = sumi=1^51(xi - barx)^2n-1 = 763,4850 approx 15,27
Então, o desvio padrão amostral ( s) é:
s approx raiz15,27 approx 3,91

Passo 9

Calculamos agora o erro padrão da média usando s:
SE = sraizn = 3,91raiz51 approx 0,55

Passo 10

Calculamos o estatístico de teste t:
t = barx - mu0SE = 3,92 - 3,50,55 approx 0,420,55 approx 0,76

Passo 11

Determinar o valor crítico para o teste t com (n-1) = 50 graus de liberdade e nível de significância de 5% (bilateral). Consultando a tabela t, o valor crítico é aproximadamente 2,009.

Passo 12

Comparamos o valor absoluto do nosso estatístico de teste com o valor crítico:
|t| = 0,76 < 2,009
Como 0,76 é menor que 2,009, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

(a) Com base no teste Z, rejeitamos a afirmação do gerente ao nível de 5%, indicando que o tempo médio do processo difere de 3,5 minutos.
(b) Considerando a variância populacional desconhecida e usando o teste t, não rejeitamos a afirmação do gerente ao nível de 5%, sugerindo que não há evidências suficientes para contestar o tempo médio de 3,5 minutos.

Exercícios relacionados