Um gerente afirma que o processo sob seu controle é executado em média 3,5 minutos, com um desvio padrão de 1 minuto. Foram observados aleatoriamente 51 processos, com os seguintes valores:
, 1, e
.
(a) Pronuncie-se a favor ou contra da afirmação do gerente relativo ao tempo médio do processo, ao nível de significância de
.
(b) Resolva o item acima, supondo que a variância populacional é desconhecida.
(a) Pronuncie-se a favor ou contra da afirmação do gerente relativo ao tempo médio do processo, ao nível de significância de
(b) Resolva o item acima, supondo que a variância populacional é desconhecida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma questão sobre estatística inferencial, especificamente sobre teste de hipóteses para a média de um processo. O gerente diz que o tempo médio do processo é de 3,5 minutos com um desvio padrão de 1 minuto. Queremos verificar se essa afirmação é verdadeira ou não, usando uma amostra de 51 processos. Para resolver isso, vamos precisar calcular a média da amostra, o erro padrão e usar o teste adequado (Z ou t) dependendo de se conhecemos ou não a variância populacional.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média da amostra (
). Sabemos que a soma dos tempos observados é 200 minutos e foram observados 51 processos. Então:
Passo 3
Agora, vamos definir as hipóteses para o teste. A afirmação do gerente é que o tempo médio é 3,5 minutos. Então:
- Hipótese nula (
): minutos - Hipótese alternativa (
): minutos
Estamos fazendo um teste bilateral porque queremos saber se a média é diferente, seja maior ou menor que 3,5 minutos.
Passo 4
Como no item (a) a variância populacional é conhecida (
minuto), vamos usar o teste Z. O próximo passo é calcular o erro padrão da média (
):
Passo 5
Agora, calculamos o estatístico de teste Z:
Passo 6
Vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 5%. Como é um teste bilateral, dividimos o nível de significância por 2 para cada cauda:
Consultando a tabela Z, o valor crítico para 0,025 em cada cauda é aproximadamente 1,96.
Passo 7
Comparamos o valor absoluto do nosso estatístico de teste com o valor crítico:
Como 3,00 é maior que 1,96, rejeitamos a hipótese nula.
Passo 8
Agora, no item (b), a variância populacional é desconhecida. Então, em vez do teste Z, vamos usar o teste t. Primeiro, calculamos a variância amostral (
):
Então, o desvio padrão amostral (
) é:
Passo 9
Calculamos agora o erro padrão da média usando
:
Passo 10
Calculamos o estatístico de teste t:
Passo 11
Determinar o valor crítico para o teste t com
graus de liberdade e nível de significância de 5% (bilateral). Consultando a tabela t, o valor crítico é aproximadamente 2,009.
Passo 12
Comparamos o valor absoluto do nosso estatístico de teste com o valor crítico:
Como 0,76 é menor que 2,009, não rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
(a) Com base no teste Z, rejeitamos a afirmação do gerente ao nível de 5%, indicando que o tempo médio do processo difere de 3,5 minutos.
(b) Considerando a variância populacional desconhecida e usando o teste t, não rejeitamos a afirmação do gerente ao nível de 5%, sugerindo que não há evidências suficientes para contestar o tempo médio de 3,5 minutos.