Seja r(u, v)=(u^2 cos (v), u^2 sen(v), u),-3 <= u <= 3,0 <= v <= 2 pi.
Encontre um vetor normal no ponto (u, v)=(-1,0).

Passo 1

O enunciado fornece a superfície parametrizada
r(u,v)=l(u^2cos v,;u^2sen v,;ur)
e pede um vetor normal no ponto (u,v)=(-1,0).
Para qualquer superfície parametrizada, um vetor normal é dado pelo produto vetorial
rutimesrv,
onde
ru=partialr/partial u e rv=partialr/partial v.

Passo 2

Calcular a derivada parcial em relação a u.
ru(u,v) =partialpartial ul(u^2cos v,;u^2sen v,;ur) =l(2ucos v,;2usen v,;1r)

Passo 3

Calcular a derivada parcial em relação a v.
rv(u,v) =partialpartial vl(u^2cos v,;u^2sen v,;ur) =l(-u^2sen v,;u^2cos v,;0r)

Passo 4

Avaliar e no ponto .

Passo 5

Calcular o produto vetorial ru(-1,0)timesrv(-1,0).
Usando o determinante
rutimesrv = i & j & k -2 & 0 & 1 0 & 1 & 0 =l(0cdot0-1cdot1,;1cdot0-(-2)cdot0,;-2cdot1-0cdot0r) =(-1,0,-2)

Resposta

Um vetor normal à superfície em (u,v)=(-1,0) é
(-1,0,-2)
(ou qualquer múltiplo não nulo desse vetor, por exemplo (1,0,2)).

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