囲 O gerente da joalheria Ouro Fino modela o total de vendas usando a função
S(t)=2000 t4+0,3 t
em que t é o tempo(em anos)após o ano 2010 e S está expresso em milhares de reais.
a)A que taxa as vendas estavam variando em 2012?

Passo 1

Vamos resolver o problema onde o gerente da joalheria Ouro Fino quer saber a taxa de variação das vendas no ano de 2012. Estamos trabalhando com funções de vendas que dependem do tempo, e para isso vamos precisar usar a derivada, que faz parte do cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que modela as vendas:
S(t)=2000 t4 + 0,3 t
Aqui, t representa o tempo em anos após 2010, e S(t) está em milhares de reais.

Passo 3

Como queremos saber a taxa de variação das vendas em 2012, precisamos calcular a derivada de S(t) em relação a t , ou seja, S'(t) , e depois avaliar essa derivada quando t = 2 (porque 2012 é 2 anos após 2010).

Passo 4

Para encontrar S'(t) , usamos a regra do quociente, que é usada para derivar funções que estão na forma de uma fração. A regra do quociente diz que se temos uma função u(t)v(t) , sua derivada é:
(uv)' = u'v - uv'v^2

Passo 5

Identificando u(t) e v(t) :
  • u(t) = 2000t
  • v(t) = 4 + 0,3t
Agora, vamos calcular u'(t) e v'(t) :
  • u'(t) = 2000
  • v'(t) = 0,3

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
S'(t) = 2000 cdot (4 + 0,3t) - 2000t cdot 0,3(4 + 0,3t)^2

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
S'(t) = 2000 cdot 4 + 2000 cdot 0,3t - 600t(4 + 0,3t)^2
S'(t) = 8000 + 600t - 600t(4 + 0,3t)^2
S'(t) = 8000(4 + 0,3t)^2

Passo 8

Agora, substituímos t = 2 na derivada para encontrar a taxa de variação em 2012:
S'(2) = 8000(4 + 0,3 cdot 2)^2 = 8000(4 + 0,6)^2 = 80004,6^2 = 800021,16 approx 377,36

Resposta

A taxa de variação das vendas em 2012 era de aproximadamente 377,36 milhares de reais por ano.

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