Nos problemas a seguir, calcule a derivada da função dada. Explicite a cada passo a regra de derivação utilizada.
j) f(t)=(3 t^4-7 t^2+9)^5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função f(t) = (3 t^4 - 7 t^2 + 9)^5 . Esse exercício pertence ao conteúdo de cálculo diferencial, mais especificamente ao uso da Regra da Cadeia para derivadas. Para resolver, vamos precisar saber como derivar funções compostas usando essa regra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a função é uma função composta. Temos uma função externa [cdot]^5 e uma função interna 3 t^4 - 7 t^2 + 9 . A Regra da Cadeia diz que para derivar uma função composta, a gente deriva a função externa e multiplica pela derivada da função interna.

Passo 3

Vamos aplicar a regra. A derivada da função externa u^5 em relação a u é 5u^4 . Aqui, u = 3 t^4 - 7 t^2 + 9 . Então, a derivada da parte externa será:
5 (3 t^4 - 7 t^2 + 9)^4

Passo 4

Agora, vamos derivar a função interna 3 t^4 - 7 t^2 + 9 . Derivando termo a termo:
  • A derivada de 3 t^4 é 12 t^3 (usando a regra do poder: d/dt [t^n] = n t^n-1 )
  • A derivada de -7 t^2 é -14 t
  • A derivada de 9 é 0 (a derivada de uma constante é zero)
Então, a derivada da função interna é:
12 t^3 - 14 t

Passo 5

Agora, juntando tudo segundo a Regra da Cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:
f'(t) = 5 (3 t^4 - 7 t^2 + 9)^4 times (12 t^3 - 14 t)

Resposta

A derivada da função é:
f'(t) = 5 (3 t^4 - 7 t^2 + 9)^4 cdot (12 t^3 - 14 t)

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