Resolva o problema de valor inicial.

Passo 1

O problema pede resolver o PVI x^2dydx=4x^2 - x - 2(x+1)(y+1) com y(1)=1. O conteúdo aqui é equação diferencial de variáveis separáveis, e precisamos separar os termos em x e y para integrar.

Passo 2

Reescrevendo e separando variáveis: multiplicamos ambos os lados por (y+1),dx e dividimos por x^2, obtendo
(y+1),dy=4x^2 - x - 2x^2(x+1),dx
Agora o lado esquerdo depende só de y e o direito só de x.

Passo 3

Para integrar o lado direito, fazemos frações parciais em
4x^2 - x - 2x^2(x+1) =1x - 2x^2 + 3x+1
Isso simplifica a integração.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
Lado esquerdo:
integral(y+1),dy=y^22+y
Lado direito:
integrall(1x-2x^2+3x+1r),dx=ln|x|+2x+3ln|x+1|+C
Logo,
y^22+y=ln|x|+3ln|x+1|+2x+C

Passo 5

Usando a condição inicial y(1)=1: quando x=1, y=1, o lado esquerdo vale tfrac1^22+1=tfrac32. O direito vale ln1+3ln2+2+C=3ln2+2+C. Igualando,
tfrac32=3ln2+2+Cimplies C=-tfrac12-3ln2

Passo 6

Substituindo C de volta, escrevemos a solução implicitamente:
y^22+y=ln x+3ln(x+1)+2x-l(tfrac12+3ln2r)
Multiplicando por 2 e reorganizando notamos que (y+1)^2 aparece:
(y+1)^2=2ln x+6ln!l(tfracx+12r)+4x
Como em x=1 a raiz é positiva, obtemos explicitamente
y=-1+raiz,2ln x+6ln!l(tfracx+12r)+tfrac4x,

Resposta

y=-1+\sqrt{2\ln x+6\ln\bigl(\tfrac{x+1}{2}\bigr)+\tfrac{4}{x}}

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