Resolva o problema de valor inicial.
Passo 1
O problema pede resolver o PVI
com
. O conteúdo aqui é equação diferencial de variáveis separáveis, e precisamos separar os termos em
e
para integrar.
Passo 2
Reescrevendo e separando variáveis: multiplicamos ambos os lados por
e dividimos por
, obtendo
Agora o lado esquerdo depende só de
e o direito só de
.
Passo 3
Para integrar o lado direito, fazemos frações parciais em
Isso simplifica a integração.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Logo,
Passo 5
Usando a condição inicial
: quando
,
, o lado esquerdo vale
. O direito vale
. Igualando,
Passo 6
Substituindo
de volta, escrevemos a solução implicitamente:
Multiplicando por 2 e reorganizando notamos que
aparece:
Como em
a raiz é positiva, obtemos explicitamente
Resposta
y=-1+\sqrt{2\ln x+6\ln\bigl(\tfrac{x+1}{2}\bigr)+\tfrac{4}{x}}