Uma máquina engarrafadora pode ser regulada para que descarregue uma média de
onças por garrafa. Tem sido observado que a quantidade de liquido dosificado pela máquina está distribuída normalmente com desvio padrão de uma onça, Uma amostra de 9 garrafas é selecionada aleatoriamente da produção num dia determinado (todas engarrafadas com o mesmo ajuste da máquina) e as onças do conteúdo liquido é mensurado para cada uma. Determine a probabilidade de que a média amostral esteja a não mais de 0,3 onças da verdadeira média
para o ajuste selecionado da máquina.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Probabilidade e Distribuições Normais. A questão fala sobre uma máquina engarrafadora que despeja uma média de
onças por garrafa, com desvio padrão de 1 onça. Queremos encontrar a probabilidade de que, em uma amostra de 9 garrafas, a média das onças esteja a no máximo 0,3 onças da verdadeira média
. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição amostral da média e a distribuição normal.
Passo 2
Primeiro, sabemos que a quantidade de líquido despejada pela máquina segue uma Distribuição Normal com média
e desvio padrão
onça. Quando tiramos uma amostra de tamanho
, a média dessa amostra, chamada
, também segue uma distribuição normal.
Passo 3
A distribuição amostral da média
tem a mesma média
, mas o desvio padrão (também chamado de erro padrão) é diferente. Ele é calculado dividindo o desvio padrão original pela raiz quadrada do tamanho da amostra:
Passo 4
Queremos achar a probabilidade de que a média amostral
esteja a no máximo 0,3 onças da verdadeira média
. Isso pode ser escrito como:
Isso significa que
está entre
e
.
Passo 5
Para encontrar essa probabilidade, vamos padronizar a variável
usando a pontuação z. A fórmula para o z é:
Então, os limites ficam:
Passo 6
Agora, queremos achar a probabilidade de
estar entre -0.9 e 0.9. Usando a tabela da Distribuição Normal Padrão, encontramos:
Passo 7
A probabilidade desejada é a diferença entre essas duas probabilidades:
Resposta
A probabilidade de que a média amostral esteja a não mais de 0,3 onças da verdadeira média
é de aproximadamente 63,18%.