Uma máquina engarrafadora pode ser regulada para que descarregue uma média de mu onças por garrafa. Tem sido observado que a quantidade de liquido dosificado pela máquina está distribuída normalmente com desvio padrão de uma onça, Uma amostra de 9 garrafas é selecionada aleatoriamente da produção num dia determinado (todas engarrafadas com o mesmo ajuste da máquina) e as onças do conteúdo liquido é mensurado para cada uma. Determine a probabilidade de que a média amostral esteja a não mais de 0,3 onças da verdadeira média mu para o ajuste selecionado da máquina.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Probabilidade e Distribuições Normais. A questão fala sobre uma máquina engarrafadora que despeja uma média de mu onças por garrafa, com desvio padrão de 1 onça. Queremos encontrar a probabilidade de que, em uma amostra de 9 garrafas, a média das onças esteja a no máximo 0,3 onças da verdadeira média mu. Para isso, vamos usar conceitos de distribuição amostral da média e a distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, sabemos que a quantidade de líquido despejada pela máquina segue uma Distribuição Normal com média mu e desvio padrão sigma = 1 onça. Quando tiramos uma amostra de tamanho n = 9, a média dessa amostra, chamada barX, também segue uma distribuição normal.

Passo 3

A distribuição amostral da média barX tem a mesma média mu, mas o desvio padrão (também chamado de erro padrão) é diferente. Ele é calculado dividindo o desvio padrão original pela raiz quadrada do tamanho da amostra:
sigmabarX = sigmaraizn = 1raiz9 = 13 onça ç

Passo 4

Queremos achar a probabilidade de que a média amostral barX esteja a no máximo 0,3 onças da verdadeira média mu. Isso pode ser escrito como:
P(|barX - mu| <= 0.3)
Isso significa que barX está entre mu - 0.3 e mu + 0.3.

Passo 5

Para encontrar essa probabilidade, vamos padronizar a variável barX usando a pontuação z. A fórmula para o z é:
z = barX - musigmabarX = barX - mu1/3
Então, os limites ficam:
z1 = mu - 0.3 - mu1/3 = -0.9
z2 = mu + 0.3 - mu1/3 = 0.9

Passo 6

Agora, queremos achar a probabilidade de z estar entre -0.9 e 0.9. Usando a tabela da Distribuição Normal Padrão, encontramos:
P(z <= 0.9) approx 0.8159
P(z <= -0.9) approx 0.1841

Passo 7

A probabilidade desejada é a diferença entre essas duas probabilidades:
P(-0.9 <= z <= 0.9) = P(z <= 0.9) - P(z <= -0.9) = 0.8159 - 0.1841 = 0.6318

Resposta

A probabilidade de que a média amostral esteja a não mais de 0,3 onças da verdadeira média mu é de aproximadamente 63,18%.

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