O Operador Gradiente ( \nabla ). O gradiente de uma função escalar (um “campo”) nos dá um vetor que aponta na direção de maior crescimento dessa função. Seja um campo de temperatura em uma chapa dado por T(x, y)=50+2 x^{2}+y.
a) Calcule o gradiente da temperatura, \nabla T. Lembre-se que \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right).
b) Qual é o vetor gradiente no ponto (x=1, y=3) ?

Passo 1

O enunciado nos dá um campo de temperatura
T(x,y)=50+2x^{2}+y
e pede:
a) o gradiente \nabla T, sabendo que \nabla=\bigl(\frac{\partial}{\partial x},\,\frac{\partial}{\partial y}\bigr);
b) o vetor gradiente no ponto (1,3). Para isso, usaremos derivadas parciais.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de T.
\frac{\partial T}{\partial x} = \frac{d}{dx}\bigl(50+2x^{2}+y\bigr) =4x,
\frac{\partial T}{\partial y} = \frac{d}{dy}\bigl(50+2x^{2}+y\bigr) =1.

Passo 3

Formar o vetor gradiente juntando as derivadas:
\nabla T(x,y) =\Bigl(\frac{\partial T}{\partial x},\,\frac{\partial T}{\partial y}\Bigr) =(4x,\,1).

Passo 4

Avaliar em (x,y)=(1,3):
\quad\nabla T(1,3)=(4\cdot1,\,1)=(4,\,1).

Resposta

a) \nabla T(x,y) = (4x,\,1)
b) \nabla T(1,3) = (4,\,1)

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