Given A=(x^2+y^2)^-1 / 2 ax, find nabla cdot A at
(2,2,0).
nabla cdot A=-12(x^2+y^2)^-3 / 2(2 x) and nabla cdot A|(2,2,0)=-8.84 times 10^-2

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
A(x,y,z) = (x^2+y^2)^-1/2,ax
e pede o divergente nablacdotA no ponto (2,2,0).
Conteúdo: cálculo de divergência em coordenadas cartesianas, usando a definição
nablacdotA = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z.

Passo 2

Identificamos as componentes do campo:
Ax(x,y,z) = (x^2+y^2)^-1/2, Ay(x,y,z)=0, Az(x,y,z)=0
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nablacdotA = partial Axpartial x + partial Aypartial y + partial Azpartial z = partial Axpartial x

Passo 3

Para calcular partial Ax/partial x, usamos a regra da cadeia em
Ax = (x^2+y^2)^-1/2
Seja u(x,y)=x^2+y^2. Então Ax=u^-1/2 e
partial Axpartial x = -tfrac12,u^-3/2,partial upartial x = -tfrac12,(x^2+y^2)^-3/2,(2x)

Passo 4

Assim obtemos
nablacdotA = -tfrac12,(x^2+y^2)^-3/2,(2x) = -,x,(x^2+y^2)^-3/2

Passo 5

No ponto (2,2,0) temos x=2 e x^2+y^2=4+4=8, então
nablacdotA|(2,2,0) = -,2,(8)^-3/2 = -,2,l(8raiz8r)^-1 = -18raiz2 approx -8,84times 10^-2

Resposta

nablacdotA|(2,2,0) approx -8,84times 10^-2

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