Given A=e^-y(cos x ax-sin x ay), find $\nabla \cdot \mathbf{A} .
\n \qquad \nabla \cdot \mathbf{A}=\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{-y} \cos x\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{-y} \sin x\right)=e^{-y}(-\sin x)+e^{-y}(\sin x)=0

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
A=e^-yl(cos x,ax-sin x,ayr)
e pede a divergência nablacdotA. O conteúdo é cálculo vetorial em coordenadas cartesianas, e vamos usar a definição
nablacdotA =partial Axpartial x+partial Aypartial y

Passo 2

Identificamos as componentes
Ax = e^-ycos x, Ay = -,e^-ysin x
Logo precisamos de partial Ax/partial x e partial Ay/partial y.

Passo 3

Calculamos
partial Axpartial x =partialpartial xl(e^-ycos xr) =e^-y,ddx(cos x) =e^-y(-sin x)

Passo 4

Calculamos
partial Aypartial y =partialpartial yl(-e^-ysin xr) =-sin x,ddy(e^-y) =-sin x,(-e^-y) =e^-ysin x

Passo 5

Somando as duas derivadas temos
nablacdotA =e^-y(-sin x)+e^-ysin x =0

Resposta

0

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