Given F(t)=lr2 t & 0 <=q t <=q 1 t & t>1. Does the result LF^prime(t)=s LF(t)-F(0) hold for this case? Explain.

Passo 1

O enunciado define
F(t)= 2t,&0<= t<=1, t,&t>1,
e pergunta se vale
LF'(t)=s,LF(t)-F(0)
O conteúdo aqui é a propriedade da transformada de Laplace da derivada, que exige que F seja contínua e F' seja apenas piecewise contínua (isto é, sem impulsos).

Passo 2

Verificamos a continuidade de F em t=1.
  • Para tto1^-, F(1^-)=2cdot1=2.
  • Para tto1^+, F(1^+)=1.
    Logo existe um salto De<a F=F(1^+)-F(1^-)=1-2=-1. Isso significa que F é descontínua em t=1 e, em termos de derivada no sentido de distribuições, aparece um termo De<a F;de<a(t-1).

Passo 3

Se tentássemos usar a fórmula LF'=sLF-F(0) sem levar em conta o impulso, iríamos calcular
F'(t)= 2,&0<t<1, 1,&t>1,
e obter
LF' =integral0^12e^-stdt+integral1^inftye^-stdt =2(1-e^-s)s+e^-ss =2-e^-ss

Passo 4

Por outro lado, computando
s,LF-F(0)
encontramos (usando integrais conhecidas para integral0^1 2t e^-stdt e integral1^infty t e^-stdt)
s,LF-F(0) =2s-e^-ss-e^-s neq2-e^-ss
Há um termo extra -e^-s, sinal de que algo ficou de fora.

Passo 5

A diferença aparece exatamente por causa do salto em t=1. O teorema clássico exige F contínua, pois um salto gera um impulso na derivada. A forma geral, que inclui esse jump, é
LF' =s,LF-F(0) +l[F(1^+)-F(1^-)r]e^-scdot1
Aqui F(1^+)-F(1^-)=-1, gerando o termo adicional -e^-s.

Resposta

Não vale. Como F tem salto em t=1, sua “derivada” inclui um delta em t=1, e a forma correta é
LF' =s,LF-F(0)+l[F(1^+)-F(1^-)r]e^-s

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