Given . Does the result hold for this case? Explain.
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se vale
O conteúdo aqui é a propriedade da transformada de Laplace da derivada, que exige que seja contínua e seja apenas piecewise contínua (isto é, sem impulsos).
Passo 2
Verificamos a continuidade de em .
Para , .
Para , .
Logo existe um salto . Isso significa que é descontínua em e, em termos de derivada no sentido de distribuições, aparece um termo .
Passo 3
Se tentássemos usar a fórmula sem levar em conta o impulso, iríamos calcular
encontramos (usando integrais conhecidas para integral0^1 2t e^-stdt e integral1^infty t e^-stdt)
s,LF-F(0) =2s-e^-ss-e^-s neq2-e^-ss
Há um termo extra -e^-s, sinal de que algo ficou de fora.
Passo 5
A diferença aparece exatamente por causa do salto em t=1. O teorema clássico exige F contínua, pois um salto gera um impulso na derivada. A forma geral, que inclui esse jump, é
LF' =s,LF-F(0) +l[F(1^+)-F(1^-)r]e^-scdot1
Aqui F(1^+)-F(1^-)=-1, gerando o termo adicional -e^-s.
Resposta
Não vale. Como F tem salto em t=1, sua “derivada” inclui um delta em t=1, e a forma correta é