Seja
. Calcule
.
a) 0
b)
c)
d)
e)
.
a) 0
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e precisamos encontrar o resíduo dela no ponto
. Isso está na área de Análise Complexa, especificamente no cálculo de resíduos. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar os polos da função e aplicar a fórmula do resíduo para polos simples.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os polos de
. Os polos são os valores de
que fazem o denominador igual a zero, ou seja, resolvemos
. Isso significa que
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as raízes da equação
. Podemos reescrever
na forma polar:
. As quatro raízes serão dadas por:
Para
, o que nos dá os quatro polos da função.
Passo 4
Focando no polo
, que é um dos polos que encontramos. Para determinar se é um polo simples, verificamos se a derivada do denominador em
não é zero.
Passo 5
Calculamos a derivada do denominador
:
Agora, avaliamos em
:
Passo 6
Vamos calcular
:
Multiplicando por
:
Então,
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula do resíduo para polos simples:
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
Simplificando o denominador:
Então,
Resposta
A resposta correta é a opção d)
.