Seja f(z)=1z^4+4. Calcule Res(f ; 1-i).
a) 0
b) -1+i4
c) -1-i16
d) -1+i16
e) -1-i4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função f(z) = 1z^4 + 4 e precisamos encontrar o resíduo dela no ponto z = 1 - i . Isso está na área de Análise Complexa, especificamente no cálculo de resíduos. Para resolver isso, vamos precisar saber como encontrar os polos da função e aplicar a fórmula do resíduo para polos simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polos de f(z) . Os polos são os valores de z que fazem o denominador igual a zero, ou seja, resolvemos z^4 + 4 = 0 . Isso significa que z^4 = -4 .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as raízes da equação z^4 = -4 . Podemos reescrever -4 na forma polar: -4 = 4e^ipi . As quatro raízes serão dadas por:
zk = raiz[4]4 cdot e^i(pi + 2kpi4)
Para k = 0, 1, 2, 3 , o que nos dá os quatro polos da função.

Passo 4

Focando no polo z = 1 - i , que é um dos polos que encontramos. Para determinar se é um polo simples, verificamos se a derivada do denominador em z = 1 - i não é zero.

Passo 5

Calculamos a derivada do denominador h(z) = z^4 + 4 :
h'(z) = 4z^3
Agora, avaliamos em z = 1 - i :
h'(1 - i) = 4(1 - i)^3

Passo 6

Vamos calcular (1 - i)^3 :
(1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i
Multiplicando por (1 - i) :
(-2i)(1 - i) = -2i + 2i^2 = -2i - 2 = -2 - 2i
Então,
h'(1 - i) = 4(-2 - 2i) = -8 - 8i

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula do resíduo para polos simples:
Res(f; 1-i) = 1h'(1 - i) = 1-8 - 8i
Para simplificar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador:
1-8 - 8i = -18 + 8i times 1 - i1 - i = -1(1 - i)(8 + 8i)(1 - i)
Simplificando o denominador:
(8 + 8i)(1 - i) = 8(1) + 8(-i) + 8i(1) + 8i(-i) = 8 - 8i + 8i - 8i^2 = 8 + 8 = 16
Então,
Res(f; 1-i) = -1(1 - i)16 = -1 + i16

Resposta

A resposta correta é a opção d) -1+i16.

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