If F(t)=rrt^2 & 0<t <=q 1 0 & t>1, find LF^prime prime(t).

Passo 1

O enunciado define
F(t)= t^2, &0<t<=1, 0, &t>1,
e pede LF''(t).
Para resolver vamos usar a propriedade da transformada de Laplace de segunda derivada em funções com descontinuidade em t=1:
LF''(s) = s^2,LF(s) - s,F(0+) - F'(0+) + l[s,[F(1+)-F(1-)]+[F'(1+)-F'(1-)]r]e^-s

Passo 2

Calculamos primeiro
LF(s) =integral0^inftye^-stF(t),dt =integral0^1t^2e^-st,dt
Fazendo a integral por partes ou recorrendo à fórmula padrão, obtém-se
LF(s) =2s^3 -s^2+2s+2s^3,e^-s

Passo 3

Precisamos agora dos valores iniciais e saltos em t=1:
  • F(0+)=0^2=0.
  • Para 0<t<1, F'(t)=2t, logo F'(0+)=0.
  • F(1-)=1^2=1 e F(1+)=0, então De<a F(1)=F(1+)-F(1-)=-1.
  • F'(1-)=2cdot1=2 e F'(1+)=0, então De<a F'(1)=-2.

Passo 4

Aplicando a fórmula da segunda derivada:
LF''(s) = s^2l(2s^3-s^2+2s+2s^3e^-sr) - scdot0 - 0 +l[s(-1)+(-2)r]e^-s
Isto dá
LF''(s) = 2s -s^2+2s+2s,e^-s -(s+2),e^-s

Passo 5

Juntando os termos com e^-s:
-s^2+2s+2se^-s-(s+2)e^-s =-2s^2+4s+2s,e^-s =-2,(s+1)^2s,e^-s
Logo
LF''(s) =2s -2,(s+1)^2s,e^-s =2sl[1-(s+1)^2e^-sr]

Resposta

boxed LF''(t)(s) =2s -2,(s+1)^2s,e^-s ;=; 2sl[1-(s+1)^2e^-sr]

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