If F(t)=rrt^2 & 0<t <=q 1 0 & t>1, does the result LF^prime prime(t)=s^2 LF(t)-s F(0)-F^prime(0) hold in this case? Explain.

Passo 1

O enunciado define
F(t)= t^2,&0<t<=1, 0,&t>1,
e pergunta se vale a fórmula da transformada de Laplace de segunda derivada,
LF''(t)(s) = s^2,LF(t)(s) - s,F(0)-F'(0)
Para usar esse resultado sem termos extras de impulso, precisamos de F de classe C^1 em [0,infty) e de F'' ser livre de deltas internas. Vamos ver que aqui há uma descontinuidade em t=1.

Passo 2

Note que
limtto1^-F(t)=1 e limtto1^+F(t)=0,
isto é, F tem salto De<a F=-1 em t=1.
Em teoria de distribuições, esse salto gera um termo -1,de<a(t-1) em F'(t).
Além disso, F'(t)=2t para 0<t<1 e F'(t)=0 para t>1.
Logo, ao derivar novamente, F'' contém um termo impulsivo vindo do salto de F' em t=1.

Passo 3

Escrevemos então
F''(t)= 2,&0<t<1, 0,&t>1,
mais o impulso de magnitude igual ao salto de F' em t=1. Como
De<a F' = F'(1^+)-F'(1^-)=0-2=-2,
temos
F''(t)=2l[H(t)-H(t-1)r]-2,de<a(t-1)
Aplicando a transformada de Laplace,
LF'' =2integral0^1e^-st,dt ;-;2,e^-s =2,1-e^-ss-2,e^-s

Passo 4

Agora calculemos o lado direito s^2LF-sF(0)-F'(0). Como
;F(0)=0,;F'(0)=0,
ficamos com
s^2LF = s^2integral0^inftyF(t)e^-stdt = s^2integral0^1t^2e^-stdt
Fazendo a integral por partes duas vezes, obtém-se
s^2integral0^1t^2e^-stdt =2 -4e^-s-s,e^-s

Passo 5

Comparando,
LF''=2,1-e^-ss-2e^-s, s^2LF-sF(0)-F'(0)=2 -4e^-s-se^-s,
vemos que eles não coincidem. A razão é que F não é C^1 em t=1, de modo que F'' possui termos delta que não aparecem na fórmula simplificada.

Resposta

Não. A fórmula falha aqui porque F tem salto em t=1, gerando termos impulsivos em F'' que não são contemplados por s^2LF-sF(0)-F'(0).

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