If , does the result LF^prime prime(t)=s^2 LF(t)-s F(0)-F^prime(0) hold in this case? Explain.
Passo 1
O enunciado define
F(t)= t^2,&0<t<=1, 0,&t>1,
e pergunta se vale a fórmula da transformada de Laplace de segunda derivada,
LF''(t)(s) = s^2,LF(t)(s) - s,F(0)-F'(0)
Para usar esse resultado sem termos extras de impulso, precisamos de F de classe C^1 em [0,infty) e de F'' ser livre de deltas internas. Vamos ver que aqui há uma descontinuidade em t=1.
Passo 2
Note que limtto1^-F(t)=1 e limtto1^+F(t)=0,
isto é, F tem salto De<a F=-1 em t=1.
Em teoria de distribuições, esse salto gera um termo -1,de<a(t-1) em F'(t).
Além disso, F'(t)=2t para 0<t<1 e F'(t)=0 para t>1.
Logo, ao derivar novamente, F'' contém um termo impulsivo vindo do salto de F' em t=1.
Passo 3
Escrevemos então
F''(t)= 2,&0<t<1, 0,&t>1,
mais o impulso de magnitude igual ao salto de F' em t=1. Como De<a F' = F'(1^+)-F'(1^-)=0-2=-2,
temos