Seja f(z)=1z^4+z^3-2 z^2. Calcule Res(f ; 1).
a) 0
b) 1 / 2
c) 1 / 3
d) -1 / 4
e) -1 / 12.

Passo 1

Vamos resumir o que foi pedido. Temos a função f(z) = 1z^4+z^3-2 z^2 e precisamos calcular o resíduo dessa função no ponto z = 1 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise complexa, especificamente sobre resíduos de funções racionais. Vamos precisar identificar o tipo de singularidade em z = 1 e aplicar a fórmula apropriada para calcular o resíduo.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da função f(z) :
z^4 + z^3 - 2 z^2 = z^2(z^2 + z - 2) = z^2(z + 2)(z - 1)
Então, podemos reescrever f(z) como:
f(z) = 1z^2(z + 2)(z - 1)

Passo 3

Observamos que no ponto z = 1 , o denominador se anula e o numerador é finito, o que indica que z = 1 é um pólo da função. Para calcular o resíduo em um pólo simples (onde o denominador tem um fator (z - z0) de potência 1), usamos a seguinte fórmula:
Res(f; z0) = limz to z0 (z - z0) f(z)
No nosso caso, z0 = 1 , então:
Res(f; 1) = limz to 1 (z - 1) cdot 1z^2(z + 2)(z - 1)

Passo 4

Simplificando a expressão, percebemos que os termos (z - 1) se cancelam:
Res(f; 1) = limz to 1 1z^2(z + 2)
Agora, substituímos z = 1 na expressão simplificada:
Res(f; 1) = 11^2(1 + 2) = 11 cdot 3 = 13

Resposta

A resposta correta é a opção c) 13 .

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