Given F(t)=lr2 t & 0 <=q t <=q 1 t & t>1. Find LF(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a função em partes
F(t)= 2t,&0<= t<=1, t,&t>1,
e pede a transformada de Laplace LF(t)(s)=integral0^inftye^-stF(t),dt. Vamos usar a definição da transformada e separar a integral em dois trechos.

Passo 2

Pela definição,
LF(t)(s) =integral0^1e^-st,(2t),dt +integral1^inftye^-st,t,dt

Passo 3

Primeiro, calculamos
I=integral0^1t,e^-st,dt
por integração por partes, tomando u=t, dv=e^-stdt, então du=dt, v=-tfrac1s,e^-st. Logo
I =l[-tse^-str]0^1 +1sintegral0^1e^-st,dt =-1se^-s +1sl[-1se^-str]0^1 =-e^-ss -e^-s-1s^2 =1s^2-e^-sl(1s+1s^2r)

Passo 4

Logo
integral0^12t,e^-st,dt =2I =2s^2 -2e^-sl(1s+1s^2r)

Passo 5

Em seguida, usamos o fato de que
integral0^inftyt,e^-st,dt=1s^2,
então
integral1^inftyt,e^-st,dt =1s^2 -integral0^1t,e^-st,dt =e^-sl(1s+1s^2r)

Passo 6

Somando as duas partes da transformada, temos
LF(t)(s) =2s^2 -2e^-sl(1s+1s^2r) +e^-sl(1s+1s^2r) =2s^2 -e^-sl(1s+1s^2r) =2-e^-s(s+1)s^2

Resposta

LF(t)(s) =2s^2 -e^-sl(1s+1s^2r) ;=;2-e^-s(s+1)s^2

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