Given F(t)=lr2 t & 0 <=q t <=q 1 t & t>1. Find LF^prime(t).

Passo 1

O enunciado dá
F(t)= 2t, & 0<= t<=1, t, & t>1
e pede LF'(t).
Para resolver, vamos usar no domínio das distribuições que
1. F'(t) é piecewise constante salvo pulso no ponto de descontinuidade t=1.
2. A transformada de Laplace de um pulso de<a(t-a) é e^-as.
3. A transformada de u(t-a) é e^-ass.

Passo 2

Calcular F'(t).
Para 0<t<1, F(t)=2t F'(t)=2.
Para t>1, F(t)=t F'(t)=1.
Em t=1 há salto de
De<a F = F(1^+)-F(1^-)=1-2=-1,
o que gera um termo -1cdotde<a(t-1).
Assim, em notação de Heaviside e delta,
F'(t)=2l[u(t)-u(t-1)r]+1;u(t-1)-de<a(t-1) =2,u(t)-u(t-1)-de<a(t-1)

Passo 3

Aplicar Laplace em cada termo:
L2,u(t)=2s, Lu(t-1)=e^-ss, Lde<a(t-1)=e^-s

Passo 4

Juntando os resultados,
LF'(t) =2s-e^-ss-e^-s =2s-s+1s,e^-s

Resposta

LF'(t) =2s-s+1s,e^-s

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